Malos cocientes categóricos

Question

Sea G se algebraica de grupo que actúa sobre un esquema de X. Entonces f: X --> Y es una categoría de cociente, si es constante en G de las órbitas y cualquier otro G-invariante de morfismos factores a través de él en una manera única. Decimos que f es una 'buena' categórica cociente si:

1) f es una surjective abrir la inmersión (es decir, la topología de Y es inducida a partir de X).

2) para cualquier abierto U ⊂ Y, la inducida por el mapa de funciones en la U de G-invariante de las funciones f^-1(U) es un isomorfismo.

¿Alguien sabe un ejemplo de un 'mal' categórica cociente (por lo que me refiero...bueno...una no buena).

Answer 1

Tenga en cuenta que si f: X→Y es una categoría de cociente en la categoría de los esquemas, que es estable bajo cambio de base por abrir inmersiones, a continuación, la segunda condición (es decir. O_Y→(f_* S_X)^G es un isomorfismo) es satisfecho automáticamente.

En el documento "Ejemplos y contraejemplos para la existencia de los cocientes de" por Un'Campo-Neuen y Hausen, hay un ejemplo de una categoría de cociente f: X→Un¹ tal que f^-1(Un¹ - 0)→Un¹ - 0 no es un categórico cociente. No he comprobado, pero creo que esto también se debe dar un ejemplo de que la condición (2) se produce un error.

No sé de ejemplo de una categórica cociente donde la condición (1) se produce un error.