Una fórmula interesante para $\pi$

Question

Echando un vistazo a algunas libretas antiguas encontré esta monstruosa fórmula:

Para cualquier entero $r>1$, tenemos

$$\pi=(-1)^{\left\lfloor\frac{r}{2}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2r-1}{4}\right\rfloor}\sum_{n=1}^\infty \frac{(2r-1)((2r-1)(n-1))!}{(n(2r-1)-1)!}\left(\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{2r-1}{2}\right\rfloor} (-1)^{f(k,r)}\frac{\cot\left(\frac{\pi kr}{2r-1}\right)}{(2r-3)!} {2r-3\choose g(k,r)}\right)^{-1},$$

donde tenemos que $$f(k,r)=k+1+\frac{1}{2} \left(\left\lfloor \frac{2r-1}{4}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{r}{2}\right\rfloor+k-1\right) \left(\left\lfloor \frac{2r-1}{4}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{r}{2}\right\rfloor+k\right)$$ y $$g(k,r)=k \left\lfloor \frac{2r-1}{2}\right\rfloor -1\ \% \ 2 r-1,$$ siendo $\%$ la operación módulo. Es un poco confuso pero parece que no puedo simplificarlo mucho más. Han pasado varios años desde que lo encontré y ni siquiera recuerdo cómo lo derivé (además, no he hecho matemáticas en más de cinco años, así que estoy un poco oxidado). Estoy bastante seguro de que tiene algo que ver con factoriales crecientes o decrecientes. Parece converger bastante rápido. Para obtener los primeros mil decimales de $\pi$ con, digamos $r=300$, realmente no necesitamos que la serie vaya hasta el infinito, $17$ será suficiente.

Entonces, mi pregunta es si alguien sabe algo sobre esta fórmula. ¿Es conocida? ¿Existen otras fórmulas similares? ¿Qué pasa con las cotangentes? Me cuesta "visualizar" lo que está sucediendo (y realmente desearía haber guardado notas mejores y más detalladas).

Edición:

Si a alguien le interesa, aquí hay una versión más compacta (y espero que más legible) que es verdadera si y solo si $r\equiv 3\pmod{4}$:

$$\pi=\sum_{n=1}^\infty \frac{r(r(n-1))!}{(nr-1)!}\left(\sum_{k=1}^{\frac{r-1}{2}} i^{k (k-1)-2}\frac{\cot\left(\frac{\pi k(r+1)}{2r}\right)}{(r-2)!} {r-2\choose \frac{k (r+1)-2}{2}\ \% \ r}\right)^{-1}.$$

Edición 2 (algo de fondo):

Solo para dar un poco de contexto: creo que esta fórmula surgió del estudio de series como

$$\sum_{n=1}^{\infty} (rn)_{1-r}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\prod_{i=1}^{r-1}(rn-i)\right)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(rn-1)(rn-2)\cdots (rn-r+1)},$$

donde $(n)_r$ es el símbolo de Pochhammer. La idea básica es que

$$\sum_{\substack{\gcd(r,a_i)=1 \\ a_i

para algún factor (cada vez más revoltoso y complicado) $A$. Por ejemplo:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{(4n-1)(4n-3)}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{150}{\sqrt{250-110\sqrt{5}}}}{(5n-1)(5n-2)(5n-3)(5n-4)}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8\sqrt{3}}{(6n-1)(6n-5)}$$

y para $r=7$ el factor se ve algo así:

$$-\frac{5040 (-1)^{4/7} \left(2 \sqrt[7]{-1}-2 (-1)^{5/7}+(-1)^{6/7}-1\right) \sqrt[3]{26767+44439 i \sqrt{3}}}{56 i \sqrt[3]{26767+44439 i \sqrt{3}}+\sqrt[3]{14} \left(\sqrt[3]{2} \left(26767+44439 i \sqrt{3}\right)^{2/3} \left(\sqrt{3}-i\right)-1238 \sqrt[3]{7} \left(\sqrt{3}+i\right)\right)}.$$

Reorganizando algunos términos aquí y allá, supongo que terminamos con la serie infinita de factoriales a la izquierda y $A$ siendo la suma invertida a la derecha. Sería genial saber si hay alguna forma de simplificar todo ese rollo binomial-mod. ¡Cualquier idea es bienvenida!

Answer 1

Tenga en cuenta la siguiente identidad: \begin{equation} \frac{1}{1-x^r}= \frac{1}{r} \sum\limits_{p=0}^{r-1} \frac{-1}{x-e^{\frac{2 \imath \pi p}{r}}} \cdot (-1)^{\frac{2 p}{r}} \quad (i) \end{equation} donde $r$ es un entero positivo.

Ahora, asumamos que $r\ge 3$ es un número primo. Definimos la siguiente cantidad: \begin{equation} {\mathfrak S}(r):= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\prod\limits_{p=1}^{r-1} (r n-p)} \end{equation} Entonces tenemos: \begin{eqnarray} {\mathfrak S}(r)&=& \int\limits_{[0,1]^{r-1}} \frac{\prod\limits_{\xi=1}^{r-1}t_\xi^{r-1-\xi}}{\left(1-\prod\limits_{\xi=1}^{r-1} t_\xi^r\right)} \cdot \prod\limits_{\xi=1}^{r-1} dt_\xi \\ &=&\frac{\pi}{r (r-2)!} \sum\limits_{q=0}^{r-2} \binom{r-2}{q} (-1)^q \cot[\frac{\pi(1+q)}{r}] + \frac{\pi \imath^{3 r+1}}{r(r-2)!} \sum\limits_{q=0}^{r-1} (-1)^q \left( 2 \sin[\frac{\pi q}{r}]\right)^{r-2} \frac{q}{r} \end{eqnarray} donde obtenemos la expresión en la parte inferior utilizando $(i)$ e integrando sucesivamente sobre $t_\xi$ comenzando desde $\xi=r-1$ hasta $\xi=1$.

In[13]:= r = Prime[RandomInteger[{2, 10}]]; M = 5000;
N[Tomar[Acumular[
    Tabla[1/Product[r n - p, {p, 1, r - 1}], {n, 1, M}]], -5], 
  100] // Formulario de Matriz
N[1/r (I \[Pi])/(r - 2)! Suma[
    Binomial[r - 2, q] (-1)^q (-1)^((2 (q + 1) p )/r)
      Si[p == 0, 1, (2 p)/r - 1], {p, 0, r - 1}, {q, 0, r - 2}] + 
  1/r (I \[Pi])/(r - 2)! Suma[ (1 - E^((2 I p \[Pi])/r))^(r - 2)  p/
     r (-1)^(1 + 2 p/r), {p, 0, r - 1}], 100]
N[1/r  \[Pi]/(r - 2)! Suma[
    Binomial[r - 2, q] (-1)^q ( Cot[(\[Pi] (1 + q))/r]), {q, 0, 
     r - 2}] + 
  1/r ( I^(3 r + 1) \[Pi])/(r - 2)! Suma[ (-1)^
     q (2 Sin[(  q \[Pi])/r])^(r - 2)  q/r, {q, 0, r - 1}], 100]