Función Z de Riemann, límites en el número de ceros no triviales a lo largo de líneas horizontales, en lugar de verticales

Question

En cuanto a los ceros no triviales de la función Zeta de Riemann, se puede encontrar bastante literatura sobre:

• la tasa de crecimiento del número de ceros a lo largo de la línea crítica vertical,

• las regiones libres de ceros en la franja crítica

• límites en el número de ceros no triviales hipotéticos dentro de la franja crítica, pero fuera de la línea crítica (aunque no se ha encontrado ninguno hasta el día de hoy, y nunca lo hará si la Hipótesis de Riemann es verdadera)

Sin embargo, no pude encontrar ningún trabajo relacionado con estimaciones del número máximo de ceros no triviales hipotéticos que puedan estar en una misma sección horizontal de la franja crítica (es decir, solo las líneas horizontales para valores fijos de t). Por supuesto, es bien sabido que la ecuación funcional implica que cualquier cero hipotético (1/2-a+it) debe estar reflejado simétricamente en el otro lado de la línea crítica por un cero (1/2+a+it). Imagino que dicho conjunto de ceros hipotéticos debería ser discreto, ya que los ceros de las funciones holomorfas son aislados, pero no tengo ninguna pista sobre su cardinalidad (instintivamente, podríamos sentir que como máximo probablemente hay finitos).

Pero tal vez algunos de ustedes que estén leyendo esta pregunta puedan saber mejor.

Answer 1

No siendo una ordenada de un cero de $\zeta(s)$, define $$ S(t) = \frac{1}{\pi} \arg \zeta(1/2+it) = -\frac{1}{\pi} \Im \int_{1/2}^\infty \frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma+it) d\sigma$$ y define $$ S(t)= \lim_{\delta\to 0} \frac{1}{2}\Big(S(t+\delta) + S(t-\delta)\Big)$$ de otra manera. Entonces el número de ceros de $\zeta(s)$ en la franja $0<\Im s \le T$ es $$ N(T) = \frac{T}{2\pi}\log \frac{T}{2\pi e} +\frac{7}{8}+S(T)+O(\frac{1}{T}) $$ donde el término de orden grande-$O$ es en realidad continuamente diferenciable. Para una demostración, mira en el libro de Titchmarsh sobre la función zeta o en "Multiplicative Number Theory, I" de Montgomery & Vaughan.

Por continuidad, la cantidad que estás buscando es precisamente $$ \lim_{\delta\to 0} \Big(S(t+\delta) - S(t-\delta)\Big).$$ Incondicionalmente, creo que Tim Trudgian tiene los mejores resultados para esta cantidad mostrando que $$ |S(t)| \le 0.111 \log t + 0.275 \log \log t + 2.450$$ para $t>e$ (por lo que tu cantidad está limitada esencialmente por el doble de esta cantidad). Esto puede ser mejorado si se permite que $t$ tienda a infinito.

Como se menciona en comentarios respuestas anteriores, asumiendo la hipótesis de Riemann (RH) estás buscando límites en la multiplicidad de un cero. En este caso, Goldston & Gonek mostraron que $$ \lim_{\delta\to 0} \Big(S(t+\delta) - S(t-\delta)\Big) \le \Big(\frac{1}{2}+o(1)\Big) \frac{\log t}{\log \log t} $$ a medida que $t\to\infty$ usando la fórmula explícita de Guinand-Weil.

Referencias:

http://arxiv.org/pdf/1208.5846.pdf

http://arxiv.org/pdf/math/0511092v1.pdf

Answer 2

El mejor límite es O(log T) también para la multiplicidad de ceros. Bajo la RH, ligeramente mejor O(Log T/log log T). Bajo Lindeloeff, o(log T). Esto es bastante malo, porque la conjetura es uno.

Editar: Hay límites ligeramente mejores en la multiplicidad de ceros ver Ivic: arxiv.org/pdf/math/0501434

La situación es similar a la función Zeta de Selberg. Mejor límite aquí O( T/ log T). Aquí, la conjetura es O(1), uno para el grupo modular.