Juego de Dados de 20 Lados vs 30 Lados

Question

Alice y Bob tienen dados de 30 y 20 lados, respectivamente. Alice lanza su dado una vez. Sin embargo, Bob puede lanzar su dado dos veces y quedarse con el máximo de los dos valores. En caso de empate, Bob es el ganador. Encuentra la probabilidad de que Alice sea la ganadora.

Mi enfoque fue el siguiente. 1/3 del tiempo, Alice obtiene un valor entre 21 y 30, por lo que gana automáticamente. 2/3 del tiempo, el valor de Alice está entre 1 y 20. En este caso, ella gana cuando su lanzamiento es estrictamente mayor que ambos lanzamientos de Bob. La probabilidad de que el lanzamiento de Alice sea estrictamente mayor es $\frac{(20^2-20)/2}{20^2}$ =$\frac{190}{400}$. La razón aquí es que hay 400 combinaciones, y 20 de ellas son veces en las que los lanzamientos de Alice y Bob son iguales, en cuyo caso Alice pierde. Por lo tanto, la probabilidad total es:

P = $\frac{1}{3}(1) + \frac{2}{3}(\frac{190}{400})^2$

Esta respuesta es incorrecta, y sospecho que se debe a mi probabilidad de que el lanzamiento de Alice sea estrictamente mayor que ambos lanzamientos de Bob.

Answer 1

Formando casos,

1. si Alice obtiene $1$, entonces Bob gana en cualquier caso.

2. si Alice obtiene $2$, entonces Bob gana en cualquier caso que no sea obtener $(1,1)$.

3. si Alice obtiene $3$, entonces Bob gana en cualquier caso que no sea obtener $(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)$.

4. si Alice obtiene $4$, entonces Bob gana en cualquier caso que no sea obtener combinaciones de $1,2,3$ en dos lanzamientos de dados, es decir, $3^2$ combinaciones.

$........$

20. si Alice obtiene $20$, entonces Bob gana en cualquier caso que no sea obtener combinaciones de $1,2,3,...,19$ en dos lanzamientos de dados, es decir, $19^2$ combinaciones.

21. si Alice obtiene $21,22,23,24,...,30$, entonces Bob pierde.

Como dados justos, cada resultado posible del dado de Alice es $\frac{1}{30}$.

La probabilidad de que Bob gane es $$ \begin{aligned} &= \frac{1}{30} \cdot \frac{400-0}{400} + \frac{1}{30} \cdot \frac{400-1^2}{400}+\frac{1}{30} \cdot \frac{400-2^2}{400}+....+\frac{1}{30} \cdot \frac{400-19^2}{400} \\ &= \frac{1}{30} \left[\frac{20 \cdot 400 - (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 19^2)}{400}\right] \\ &= \frac{1}{30} \left[20 - \frac{19 \cdot 20 \cdot (19 \cdot 2 + 1)}{400 \cdot 6}\right] \\ &= \frac{553}{1200} \end{aligned} $$

Por lo tanto, la probabilidad de que Alice gane $$=1- \frac{553}{1200} =\bbox[10px, border: 2px solid black]{\frac{647}{1200}}$$

Prueba de validez, (Código en Python para $10000$ pruebas.)

import random as r

def calcular_probabilidad():
    # Inicializar variables
    alice_gana = 0
    n = 10000

    for _ in range(n):
        # Calcular que Alice obtenga un valor específico
        alice_lanzamiento = r.randint(1, 31)
        bob_lanzamiento = max(r.randint(1, 21), r.randint(1, 21))

        if alice_lanzamiento > bob_lanzamiento:
            alice_gana += 1

    # Devolver la probabilidad de que Alice sea la ganadora
    return alice_gana / n

# Calcular e imprimir la probabilidad
probabilidad = calcular_probabilidad()
print(f"La probabilidad de que Alice sea la ganadora es aproximadamente {probabilidad:.4f}")

#Resultado: La probabilidad de que Alice sea la ganadora es aproximadamente 0.5323
#Lo cual es una buena aproximación de mi respuesta para 10000 pruebas.