Sistemas de coordenadas en variedades

Question

Soy bastante nuevo en geometría diferencial y algo que no logro entender es, si una variedad de $n$ dimensiones es localmente homeomorfa a $\mathbb{R}^{n}$, es decir, al espacio euclidiano, ¿no es posible cubrir cualquier variedad con una colección de cartas coordenadas cuyas coordenadas sean simplemente las coordenadas cartesianas habituales del espacio Euclidiano? ¿Por qué uno necesita siquiera considerar sistemas de coordenadas más generales y curvilíneos, aparte de que pueden simplificar el problema en cuestión?

Por ejemplo, la 2-esfera $S^{2}$ puede describirse localmente (quizás de la forma más sencilla) mediante coordenadas polares esféricas $(\theta , \phi)$ que pueden ser mapeadas a coordenadas cartesianas locales, $x^{1}=\sin (\theta)\cos (\phi),\; x^{2}=\sin (\theta)\sin (\phi),\; x^{3}=\cos (\theta)$. ¿No se podría igualmente comenzar desde la definición de $S^{2}=\lbrace (x^{1},x^{2},x^{3})\in\mathbb{R}^{3}\;\vert\; (x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}+(x^{3})^{2}=1\rbrace$ y simplemente utilizar coordenadas cartesianas (prescindiendo por completo de coordenadas curvilíneas)?

Sin embargo, he leído que, en general, las variedades curvadas no pueden describirse ni siquiera localmente mediante coordenadas cartesianas. Estoy confundido acerca de cómo esto es así cuando supuestamente todas las variedades son localmente homeomorfas al espacio euclidiano.

Answer 1

Algunos puntos:

1. el gráfico de coordenadas (o inversamente un parche) no describe aproximadamente la variedad. Está exactamente en la variedad. Por ejemplo, en la parte superior de la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$ cerca del punto $(0,0,1)$ es cierto que $z=1$ localmente aproxima la esfera (es el plano tangente), sin embargo, ciertamente no es cierto que $\Phi(x,y) = (x,y,1)$ proporcione un parche de la esfera cerca de $(0,0,1)$. Podríamos usar $\Psi ( x, y) = (x,y, \sqrt{1-x^2-y^2} )$ ya que la imagen de $\Psi$ está en la esfera.
2. hay ejemplos abstractos de variedades formadas por conjuntos de matrices, o espacios proyectivos. Tales ejemplos tienen puntos que ni siquiera están en $\mathbb{R}^n$, por lo tanto, sin algunos detalles, claramente es imposible usar coordenadas en $\mathbb{R}^n$ como coordenadas para tales variedades. Pero...
3. el ítem 2. no es tan imponente como parece porque usualmente es posible encontrar un modelo de la variedad abstracta que encaje dentro de alguna copia de $\mathbb{R}^n$. Además, el Teorema de Embebdimiento de Whitney y el Teorema de Embebdimiento de Nash muestran que podemos encontrar un conjunto $S$ dentro de $\mathbb{R}^k$ para $k$ suficientemente grande que represente una variedad abstracta de $n$ dimensiones $\mathcal{M}$ de tal manera que $S$ tenga la misma estructura que $\mathcal{M}$. Esa estructura podría involucrar la métrica, o solo la topología, depende del tipo de variedad y teorema que deseamos invocar. Te remito a los enlaces.
4. ¿cuál es la distancia en una variedad? Esto parecería ser parte de tu confusión actual. Para un conjunto de puntos dado, hay múltiples estructuras que podemos colocar. Por ejemplo, al plano se le puede dar una métrica que le da geometría esférica o hiperbólica (los ángulos suman más o menos que 180 grados en un triángulo). Por supuesto, esas métricas no son inducidas de la métrica euclidiana ambiente en $\mathbb{R}^2$. De igual manera, para variedades, la métrica no necesita ser inducida de la métrica en el espacio mayor en el cual está embebida. Desarrollamos una teoría de geometría para variedades riemannianas que está completamente basada en la estructura abstracta de la misma variedad. La geometría intrínseca de una variedad es independiente de los detalles de su embebdimiento. Esto es un poco complicado cuando te encuentras con la idea por primera vez. En la geometría diferencial clásica tenemos una mezcla de cantidades intrínsecas y extrínsecas para superficies. Por ejemplo, la curvatura media es extrínseca mientras que la curvatura gaussiana es intrínseca.