Encuentra la solución general de la ecuación diferencial

Question

Hace mucho tiempo (años) que no trabajo con ecuaciones diferenciales y solo quiero asegurarme de que mi método esté correcto y también tengo algunas preguntas.

Encuentra la solución general de la ecuación diferencial.

1. $$\frac{dy}{dt}+ycost=0$$

$$a(t)=cost$$

$$y(t)=Ce^{-\int a(t) dt}$$ $$y(t)=Ce^{-\int cost dt}$$ $$y(t)=Ce^{-sint }$$ $$y(t)=\frac{C}{e^{sint}}$$

3. $$\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{1+t^2}y=\frac{1}{1+t^2}$$

$$a(t)=\frac{2t}{1+t^2}$$

$$(t)=e^{\int a(t)dt}$$ $$(t)=e^{\int \frac{2t}{1+t^2}dt}$$

Después de hacer una sustitución con $u=1+t^2$ y $du=2tdt$ (¿Se convertirá $(t)$ en $(u)$ o simplemente $$ cuando estoy haciendo la sustitución de u?

$$(t)=e^{\int \frac{1}{u}du}$$ $$(t)=e^{ln|u|}$$ $$(t)=|u|$$ (¿Necesito mantener los signos de valor absoluto aquí?)

Resustituir $1+t^2$ en lugar de u:

$$(t)=|1+t^2|$$

Multiplicar ambos lados de la ecuación original por $(t)$: $$(t)[\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{1+t^2}y]=(t)[\frac{1}{1+t^2}]$$ $$|1+t^2|[\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{1+t^2}y]=|1+t^2|[\frac{1}{1+t^2}]$$ $$\frac{d}{dt}(1+t^2)y=1$$ $$(1+t^2)y=\int dt$$ $$(1+t^2)y=t + C$$ $$y=\frac{t}{1+t^2} + C$$

Entonces solo necesito usar el método $(t)$ cuando la ecuación original tenga un lado derecho no igual a 0 (es una ecuación diferencial no homogénea, ¿verdad?)

Answer 1

Una forma simple de pensar en esto es que siempre puedes usar el método de integración para ecuaciones $$ \dfrac{dy}{dt} + a(t)y + b(t) = 0 $$ donde al usar el método del factor integrante encontramos $$ y\mathrm{e}^{\int^t_0 a(s)ds} = \int_0^tb(s)\mathrm{e}^{\int^s_0 a(s')ds'}ds $$ Obtendrás una solución analítica si puedes calcular $$ \int_0^tb(s)\mathrm{e}^{\int^s_0 a(s')ds'}ds $$ Esto no siempre es el caso. Entonces, los ejemplos que mencionaste corresponden a $$ a(t) = \cos t\\ b(t) =0. $$ y $$ a(t) = \frac{2t}{1+t^2} = \dfrac{d}{dt}\ln\left(1+t^2\right)\\ b(t) = \frac{1}{1+t^2}. $$ respectivamente.

Para responder si necesitas mantener el signo de la integral en $\ln|u|$, la respuesta corta es sí, pero como puedes ver, $1+t^2>0$ para todos los valores reales de $t$, así que puedes omitirlo.

El ejemplo de la ecuación diferencial que doy aquí se define como una ecuación diferencial de primer orden (no) homogénea. Como notaste correctamente, el "no" surge cuando $b(t)\neq 0$.

Llegué tarde a la fiesta, así que espero que ya hayas encontrado tus respuestas, pero si no, espero que esto ayude.