Evaluando $\sum\limits_{n=0}^\infty\Gamma(in+1)$

Question

Nuestro objetivo es evaluar: $$S=\sum_{n=0}^\infty(in)!= \sum\limits_{n=0}^\infty\Gamma(in+1) = 1.66159412484058… - 0.09593230517926 …i $$ que las generalizaciones de la función hipergeométrica no pueden expresar. Intentar reescribirlo usando la representación integral de $\Gamma(n)$ tampoco funciona ya que la serie geométrica converge para todo $0\le x$. Incluso utilizando una regularización y el valor principal de Cauchy en $x=1$: $$S= \sum_{n=0}^\infty\int_0^\infty e^{-x}x^{i n}dx\mathop=^\text{reg}\int_0^\infty\frac{e^{-x}}{1-x^i}dx\mathop\approx^\text{PV}0.5-0.041380i$$ da resultados numéricos incorrectos. La última idea fue convertirla en una integral tipo Barnes, como con una fórmula basada en interpolación de Ramanujan. Con $\Gamma(in+1)$, el resultado diverge, pero usando $\Gamma(1-in)$:

$$\bar S=1+\frac i2\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}((\cot(\pi z)+i)\Gamma(1-i z)dz\iff S=1-\frac i2\int_{ci-\infty}^{ci+\infty}(\coth(\pi z)-1)\Gamma(z+1)dz$$

Otra fórmula útil puede ser $\Gamma(1-in)=-\pi i\frac{\operatorname{csch}(\pi n)}{\Gamma(i n)}$. Finalmente, dado que $\lim_\limits{n\to\infty}\frac{2\ln(\text{Re}(\Gamma(in+1)))}{\pi n}=-1$, la parte real de la suma converge aproximadamente a una velocidad de $e^{-\frac\pi2n}$. Sin embargo, hasta ahora no hay mucho que ayude a evaluar la suma.

¿Qué podemos hacer?

Answer 1

Considere la serie de potencias $$ F(z)=\sum_{n\geq 0}z^n\Gamma(i n+1). $$ Dado que $|\Gamma(i n+1)|\sim \sqrt{2\pi n}\,e^{-\frac \pi 2n}$ cuando $n\to+\infty$ (cf. DLMF), esto define una función analítica para $|z|. En particular, $F(1)$ es el valor que queremos calcular.

Deberían ser ciertos los siguientes hechos.

1. Para $|z|<1$ tenemos la representación integral $$ F(z)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-s}}{1-zs^i}ds. $$

2. Obtenemos $$ F(1)=\lim_{z\to 1_-}\int_0^{+\infty}\frac{e^{-s}}{1-zs^i}ds $$ donde la notación indica que el límite se toma mientras $z\to 1$ con $|z|<1$.

3. Este límite puede calcularse mediante la fórmula de Sokhotski$-$Plemelji como $$ F(1)=PV\int_0^{+\infty}\frac{e^{-s}}{1-s^i}ds+\pi \sum_{n\in\mathbb Z}\exp\bigl(-\exp(2\pi n)\bigr)\exp(2\pi n). $$