Una probabilidad condicional que implica una estadística de orden

Question

Aquí está la pregunta original:

Sean $X_1, X_2, \cdots$ variables aleatorias i.i.d. uniformes en $[0,1]$. Sea $N$ el entero más pequeño tal que $X_N$ sea menor que exactamente uno de sus predecesores $X_1, X_2, \cdots, X_{N-1}$. Encuentra la función de distribución acumulativa de $N$.

Vi que el truco clave es darse cuenta de que $\mathbb{P}\left\{ N = n \mid N > n-1\right\} = \frac{1}{n}$. Pero ¿cómo probarlo rigurosamente?

Intenté escribir que $$\mathbb{P}\left\{N = n\mid N > n-1\right\} = \mathbb{P}\left\{X_N=X_{(N-1)}\mid N>n-1 \right\}$$

Pero no sé cómo proceder. Sé que todas las ordenaciones de $X_1, \cdots, X_N$ son igualmente probables, pero no sé cómo eso sería útil. Intuitivamente, estoy pensando que una vez que fijamos $X_1, \cdots, X_{n-1}$, entonces hay $n$ "ranuras" posibles en las que podemos "insertar" a $X_N$, por lo que nos da $\frac{1}{N}$.

Answer 1

Sea $X^{(i)}$ la $i$-ésima estadística de orden de $n$ sorteos de la distribución uniforme. (Para ser claros, $X^{(1)}$ es el sorteo más pequeño mientras que $X^{(n)}$ es el más grande. He elegido una notación ligeramente diferente a la del artículo de Wikipedia vinculado para evitar confusiones con la notación que has elegido.)

Condicionando en $\{N>n\}$, $N=n+1$ siempre que $X_{n+1}$ sea mayor que todos excepto el más grande de los $n$ sorteos de la distribución uniforme. Es decir, debemos tener que $$ \left\{ X^{(n-1)} \le X_{n+1} < X^{(n)} \right\}.$$

En otras palabras,

$$ \Pr(N=n+1 \vert N>n) = \Pr \left( X^{(n-1)} \le X_{n+1} < X^{(n)} \right).$$

Usando la distribución conjunta de $\left( X^{(n-1)} , X^{(n)} \right)$, tenemos que \begin{align*} \Pr \left( X^{(n-1)} \le X_{n+1} < X^{(n)} \right) &= n(n-1) \int_{0}^1\int_{0}^v u^{n-2}(v-u)\,\mathrm du\,\mathrm dv \\ &= \int_0^1 v^n \, \mathrm dv \\ &= \frac{1}{n+1}. \end{align*}

Por lo tanto, $$ \Pr(N=n+1 \vert N>n) = \frac{1}{n+1}. $$