Si $X\approx Y$ y $X$ es contractible entonces $Y$ es contractible

Question

Si $X\approx Y$ y $X$ es contractible entonces $Y$ es contractible.

Intento de la solución

Dado que $X\approx Y$, entonces existe una función continua y biyectiva $f:X\to Y$ tal que $f^{-1}:Y\to X$ es continua.

Dado que $X$ es contractible entonces $id_X\simeq x_o,$ donde $x_o$ es una función constante, es decir, existe una homotopía $H:I\times I\to X$ tal que $H(x,0)=id_X(x)$ y $H(x,1)=x_o(x).

Ahora, para encontrar $id_Y\simeq y_o$ intenté dibujar un diagrama

$\require{AMScd}$ \begin{CD} X\times I @>f\times id>> Y\times I\\ @V H V V @VV f\circ H V\\ X @>>f> Y \end{CD}

No estoy seguro si es correcto o no.

Desde aquí, ¿cómo podría definir la composición homotópica $f\circ H$, $id_Y\simeq y_o$?

Si alguien pudiera ayudarme, gracias.

Answer 1

$f\circ H:Y\times I\to Y$ no tiene sentido ya que $H$ está definida en $X\times I$.

En cambio, observa que $f\times id$ es un homeomorfismo, por lo que puedes dejar que tu homotopía sea $f\circ H\circ (f\times id)^{-1}$.

Answer 2

Si has demostrado que la equivalencia de homotopía es una relación de equivalencia, todo lo que se necesita es mostrar que ser contractible es exactamente lo mismo que ser homotópicamente equivalente a un punto.