La elección de $\epsilon$ en las demostraciones de divergencia

Question

Para mostrar que la sucesión $a_n$ converge a algún $l\in\mathbb{R}$, necesitamos demostrar que para cada $\epsilon>0$, existe un $N\in\mathbb{N}$ correspondiente tal que $$ m\geq N\Rightarrow |a_m-l|<\epsilon $$ Para mostrar que una sucesión diverge, necesitamos negar esta definición. Es decir, la sucesión $a_n$ diverge si para cada $l\in\mathbb{R}$, existe un $\epsilon_0>0$ correspondiente tal que para todo $N\in\mathbb{N}$, existe un $m\geq N$ con $|a_m-l|\geq \epsilon$.

He visto algunas pruebas de divergencia. Entiendo la estructura de las pruebas pero lo que no entiendo es cómo se llega a la elección de $\epsilon_0$ en las pruebas de divergencia. Por ejemplo, en la prueba de divergencia de $a_n=n$ o $a_n=(-1)^n$, se elige $\epsilon_0=1; necesito saber cómo se elige este $\epsilon_0$?

Answer 1

Normalmente visualizar el gráfico de la secuencia (si es posible) es suficiente para encontrar el $\epsilon_0$ correcto. Por ejemplo, en $s_n = n$, sabes que puedes elegir cualquier valor para $\epsilon_0$, porque después de un punto $s_n$ superará ese punto y no volverá atrás. Sin embargo, si tienes algo como $(-1)^n$, no querrás elegir $\epsilon_0 = 4$, por ejemplo, porque sabes que todos los términos se ajustarán dentro de ese $\epsilon_0$. Pero elegir cualquier $\epsilon_0 < 1$ funcionará, porque el gráfico seguirá alternando entre $\pm1$, que están a una distancia de $2$.