Dibuje el diagrama de Hasse ya que dos elementos tienen la misma imagen

Question

Deje que $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $P=\{y \in \mathbb N : y \text { es un número primo}\}$, considere la función $f$ definida de la siguiente manera: $$\begin{aligned} f:x\in S \rightarrow f(x) \in \wp (P) \end{aligned}$$ y $$\begin{aligned} f(x)=\{y \in P: y \mid x\} \end{aligned}$$

Deje que $X=\{1,4,5,8,10\}$ y $f(X)=\{\{\emptyset\}, \{2\}, \{5\}, \{2\}, \{2,5\}\}$. Deje $\Sigma$ ser un orden parcial definido de la siguiente forma:

$$\begin{aligned} x\text{ }\Sigma \text{ } y \Leftrightarrow f(x) \subset f (y) \text{ o } x=y\end{aligned}$$

dibuje el diagrama de Hasse relativo a $(X, \Sigma)$.

La función $f$ claramente no es inyectiva, porque $f(4) = f(8)=\{2\}$. No estoy seguro de cómo debe dibujarse el diagrama de Hasse: en este caso tengo una repetición, ¿debo omitir uno de los elementos con el mismo elemento de imagen? ¿Es correcto mi diagrama de Hasse?

Answer 1

$\Sigma$ no es un orden parcial ya que carece de la propiedad de antisimetría: $$x \Sigma y \text{ y } y \Sigma x \Rightarrow x=y.$$ Aquí, $4 \Sigma 8$ y $8 \Sigma 4$ pero $4 \neq 8$.

Editar: Me acabo de dar cuenta de que por $\subset$ te refieres a inclusión propia. En este caso, $\Sigma$ es de hecho un orden parcial. $4$ y $8$ son incomparables, por lo que debes añadir un nodo etiquetado con $8$ junto al nodo etiquetado con $4$ con líneas conectadas $1$-$8$ y $8$-$10$.

Answer 2

$X$ tiene 5 elementos particulares, y nada de lo que ocurra en la definición de $\Sigma$ puede cambiar qué conjunto es $X$ o cuáles son sus elementos. La identidad de $X$ es independiente de lo que hagas con él después de definirlo. Así que sí, necesitas representar todos esos elementos en tu diagrama de Hasse.

Además, sin importar qué extrañas funciones estés utilizando internamente en la definición de $\Sigma$, lo que resulta del proceso es solo un subconjunto particular de $X \times X$. Esta misma relación podría haber sido definida de varias otras maneras, en su forma más primitiva podrías simplemente listar todos esos pares $(a, b)$ tales que $a \mathrel { \Sigma } b$. Dado que lo que estás diagramando es la relación en sí misma, en lugar de los detalles internos irrelevantes de cómo surgió la relación, no debes intentar que el diagrama codifique información sobre $f$, excepto en la medida en que esta información influya en las respuestas de sí o no a "¿está relacionado este elemento con ese elemento?". El diagrama no puede representar tal información en absoluto.