La forma cerrada de $\displaystyle\mathscr{R}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,\ln\big(\sin^2(\tan x)\big)\,\,dx$

Question

Inspirado por el Señor Olivier Oloa en esta pregunta. ¿La siguiente integral admitir una forma cerrada?

\begin{align} \mathscr{R}=\int_0^{\Large\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,\ln\big(\sin^2(\tan x)\big)\,\,dx \end{align}

Será mi última pregunta antes de que me tome un largo descanso de mi actividad en Matemáticas StackExchange. Así que, por favor, ser amable. No más downvotes por ninguna razón, porque este es un reto problema. BBML.

Answer 1

He aquí un enfoque ligeramente diferente. Mediante la reducción de la potencia de la fórmula y deshacerse de el segundo exponente de la sinusoidal utilizando las propiedades del logaritmo de la integral se convierte en:

$$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos 2x) \log (\sin (\tan x))dx$$

Mediante la sustitución de $2x=u$ tenemos:

$$I = \frac{1}{2}\int_0^\pi (1-\cos u) \log\bigg(\sin \bigg(\tan \bigg(\frac{u}{2}\bigg)\bigg)\bigg)du$$

Tenemos la integral listo para una sustitución de Weierstrass, después de lo cual se convierte en:

$$I = \int_0^\infty\bigg(1-\frac{1-t^2}{1+t^2}\bigg) \log(\sin (t)) \frac{1}{1+t^2}dt$$

O:

$$I = \int_0^\infty \frac{2t^2}{(1+t^2)^2} \log(\sin (t))dt$$

A partir de ahora voy a usar $x$ de nuevo. La serie de Fourier de $\log (\sin x)$ es bien conocido y es:

$$\log(\sin x)= -\log 2 -\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$$

De modo que la integral, el intercambio de integración y totalización, se convierte en:

$$I=-2\log 2 \int_0^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx-2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \int_0^\infty \frac{x^2\cos(2nx)}{(1+x^2)^2}$$

Ambos son de fácil integrales desde el punto de vista de residuos de cálculo. El resultado final es:

$$I=-\frac{\pi \log 2}{2} -\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-2n}}{n}+\pi \sum_{n=1}^\infty e^{-2n}$$

Estas sumas se puede evaluar mediante la serie geométrica y su integral. Por lo tanto tenemos:

$$I=-\frac{\pi \log 2}{2}+\frac{\pi}{e^2-1}-\frac{\pi}{2}(2-\log(e^2-1))$$

Simplificando:

$$I=\frac{\pi}{2}\log \bigg( \frac{e^2-1}{2} \bigg) +\pi\bigg(\frac{2-e^2}{e^2-1}\bigg)$$

Answer 2

La respuesta es $$ \mathscr{R}=\frac{\pi }{2} \left(\log \left(\frac{e^2-1}{2} \right)-\frac{2 \left(e^2-2\right)}{e^2-1}\right) $$ Como Kirill demostrado hemos $$\eqalign{ \mathscr{R}&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\frac{u^2}{(1+u^2)^2}\log(\sin^2u)du\cr &=\frac{1}{2}\int_{0}^\pi\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac{(u+k\pi)^2}{(1+(u+k\pi)^2)^2}\right)\log(\sin^2u)du } $$ Ahora, la función $$ F(u)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac{(u+k\pi)^2}{(1+(u+k\pi)^2)^2} $$ es de $\pi$-periódico e incluso la función. No es difícil calcular su transformada de Fourier coeficientes coseno $a_n$ que $$ F(u)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}a_n\cos(2n u) $$ con, $$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi F(u)\cos(2n u)du =\frac{2}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{u^2}{(1+u^2)^2}\cos(2n u)du= e^{-2 n} (1-2 n)$$ La última igualdad se obtiene mediante un simple residuo de cálculo.

Por otro lado es fácil y es bien conocido que $$ \log(\sin^2u)=-2\log 2-\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{n}\cos(2nu) $$ Así, utilizando la fórmula de Parseval tenemos $$ \mathscr{R}=\frac{\pi}{2}\left(- \log 2-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{n}e^{-2 n} (1-2 n)\right) $$ y esto simplifica fácilmente a la anunciada forma cerrada.$\qquad\square$

Answer 3

Escribe $\tan x = u$ a obtener la integral $$ \int_0^\infty \frac{u^2\,du}{ (1+u^2)^2} \log(\sin^2 u) $$ y dividido en períodos de longitud $\pi$ por escrito $u=\pi k+s$, $0<s<\pi$, de modo que la integral es $$ 2\int_0^\pi \sum_{k\geq0} \frac{u^2}{(1+u^2)^2}\log\pecado s\,ds, \qquad u = \pi k+s. $$ La suma puede ser hecho de forma explícita en términos de polygamma funciones: $$ \frac{1}{2\pi}\Im\psi\left(\frac{i+s}{\pi}\right) + \frac{1}{2\pi^2}\Re\psi_1\left(\frac{i+s}{\pi}\right), $$ de modo que la integral es igual a $$ \frac1\pi \int_0^\pi \log(\pecado s)\left(\Im\psi\left(\frac{i+s}{\pi}\right) + \frac{1}{\pi}\Re\psi_1\left(\frac{i+s}{\pi}\right) \right)\,ds$$ que es numéricamente $$ \begin{array}{rl} -0.8254932940&1920795045&3494583393&8145490721&3051472153&0015143141\\ 0263463153&8662518683&0960012709&2734877933&9171668805&2198716476\\ 0581876961&2557665495&3473838059&8389072188&9187974995&4963384740\\ 9429563810&6463831818&4148444098&6729534027&3239373746&3514130065&\ldots \end{array} $$