La clave para resolver ambos problemas es el uso de los siguientes dos hechos: 1) Cualquier subgrupo cerrado de $T^n$ es la intersección de los núcleos de los caracteres de $T^n$, es decir, homomorfismos de grupo continuos $T^n \rightarrow S^1$. 2) Cualquier homomorfismo continuo $T^n \rightarrow S^1$ tiene la forma $(\overline x)\mapsto e^{2\pi i x\cdot m}$ para un único $m\in\mathbb Z^n$. Por lo tanto, la clausura de $T_{\overline \nu}$ es la intersección de los núcleos de los caracteres correspondientes a $m$ para los cuales $\nu\cdot m\in\mathbb Z$. Tomando una base $m_1,\dots,m_k$ del grupo de esos $m$ se obtiene una suryección $T^n \rightarrow T^k$ para la cual $T_{\overline\nu}$ es el núcleo ($T_\nu$ no necesariamente es un toro ya que podría no estar conectado pero esto no cambia nada). Según lo anterior, este mapa está dado simplemente por una matriz de enteros $n\times k$ especificada por $m_1,\dots,m_k$. El mapa tangente en el origen se obtiene considerando esta matriz como una matriz real y por lo tanto el espacio tangente de $T_{\overline \nu}$ es el espacio nulo de esta matriz.
En particular, esto implica que la dimensión de $T_{\overline \nu}$ es igual a $\dim_{\mathbb Q}\langle1,\nu_1,\nu_2,\ldots,\nu_n\rangle -1$. Esto está desfasado en uno de tu suposición si $1$ está en el rango de los $\nu_i$ pero es igual si no lo está.
[[Agregado]] Malinterpreté la pregunta y lo anterior es para el subgrupo cerrado generado por $\overline\nu$, mientras que la pregunta era sobre la clausura del subgrupo de $1$ parámetro generado por este. Para responder a la pregunta, todo funciona igual solo que la condición es que $r\nu\cdot m\in\mathbb Z$ para todo número real $r$ lo que da $\nu\cdot m=0$ y de hecho la dimensión es $\dim_{\mathbb Q}\langle\nu_1,\nu_2,\ldots,\nu_n\rangle$.
