El proceso detrás de $5 = \frac{2}{x} \Leftrightarrow \frac{2}{5} = x$

Question

(Nota: No aprendí a resolver ecuaciones de la manera convencional; en su lugar, simplemente me enseñaron a "mover números de un lado a otro", invirtiendo el signo u operación correspondiente. Sin embargo, estoy aprendiendo la manera convencional porque creo que hace el proceso de resolver ecuaciones más claro. Dicho esto, pido disculpas si esta pregunta es demasiado "básica".)

Sé que cuando tengo una igualdad como $5 = \frac{x}{2}$ debo multiplicar ambos lados por 2 para obtener la respuesta.

Sin embargo, ¿cuál es el proceso detrás de $5 = \frac{2}{x} \Leftrightarrow \frac{2}{5} = x$?

Sé que cuando tengo una ecuación en la que la variable está en el denominador debo mover el numerador al otro lado y hacerlo el numerador y el número que ya está allí el denominador, pero realmente no sé por qué eso es así o cómo se hace "matemáticamente".

Tengo una teoría:

• Invertir ambos lados y luego multiplicar ambos lados por 2;

¿Es esto correcto?

Answer 1

Estás permitido a invertir ambos lados, siempre y cuando inviertas el lado completo, así: $$2 + x = \frac1y \rightarrow \frac{1}{2 + x} = y$$ Un error común es invertir solo un término. Nota que la "inversión" ocurre porque podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por el producto de ambos lados. Toma por ejemplo: $$\frac{1}{2 + x} = \frac{1}{y} \rightarrow \frac{y(2 + x)}{2 + x} = \frac{y(2 + x)}{y}\rightarrow y = 2 + x$$ Hicimos lo anterior al multiplicar ambos lados por y(2 + x), lo cual está permitido, siempre y cuando se haga a ambos lados. Puedes resolver tu ejemplo de la misma manera.

Answer 2

Multiplica por $x$: $$5x=2$$

Divide por $5$: $$\frac{2}{5} = x$$

En general, $$\frac{x}{b} = a \iff x=ab \iff \frac{x}{a} = b$$

Answer 3

Tenemos que $$5 = \frac2x.$$ Ahora multiplicamos por $x$ en cada lado, y obtenemos $$5x=2. $$ Luego, dividimos por $5$ en cada lado, y obtenemos $$x=\frac25. $$

Answer 4

De $5=\frac 2x$ para obtener $x=\frac 25$, estás multiplicando ambos lados por $x$ para obtener $$5x=2$$ Y dividiendo por $5$, obtenemos $x=\frac 25$.

Answer 5

Puedes hacerlo mediante el segundo principio de equivalencia: "multiplicando o dividiendo ambos lados de una ecuación por una constante no nula" obtenemos una ecuación equivalente. Esta es la base de tus cálculos en el ejemplo $5=\frac{2}{x}$.