Dividir grupos y grupos cuasi-split.

Question

Por definición, un grupo cuasi-dividido sobre un campo es un grupo reductivo con un subgrupo de Borel definido sobre el campo. Un grupo dividido es un grupo cuasi-dividido que tiene un toro dividido ($T = \mathbb{G}_m^n$, $\mathbb{G}_m$ es el grupo multiplicativo). ¿Hay algunos ejemplos de grupos cuasi-divididos que no son divididos? Muchas gracias.

Answer 1

Aquí hay dos ejemplos estándar de grupos no divididos pero cuasi-divididos:

• Toris no divididos (un ejemplo tonto), por ejemplo U(1) sobre $\mathbf{R}$. Si $T$ es cualquier toro, entonces $T$ es un subgrupo de Borel de sí mismo, y esto está claramente definido sobre el campo base.

• Un ejemplo un poco menos tonto: el grupo semisimple $SU(2, 1)$ sobre $\mathbf{R}$, definido como el grupo de matrices complejas de 3x3 de determinante 1 que satisfacen $g J \bar{g}^t = J$ donde $J$ es la matriz $\begin{pmatrix} &&1 \\&1 \\ 1 \end{pmatrix}$. La intersección de este grupo con las matrices triangulares superiores en $\operatorname{GL}_3(\mathbf{C})$ es un Borel, pero no hay un toro maximal dividido.