Por definición, un grupo cuasi-dividido sobre un campo es un grupo reductivo con un subgrupo de Borel definido sobre el campo. Un grupo dividido es un grupo cuasi-dividido que tiene un toro dividido (T=Gnm, Gm es el grupo multiplicativo). ¿Hay algunos ejemplos de grupos cuasi-divididos que no son divididos? Muchas gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Aquí hay dos ejemplos estándar de grupos no divididos pero cuasi-divididos:
-
Toris no divididos (un ejemplo tonto), por ejemplo U(1) sobre R. Si T es cualquier toro, entonces T es un subgrupo de Borel de sí mismo, y esto está claramente definido sobre el campo base.
-
Un ejemplo un poco menos tonto: el grupo semisimple SU(2,1) sobre R, definido como el grupo de matrices complejas de 3x3 de determinante 1 que satisfacen gJˉgt=J donde J es la matriz (111). La intersección de este grupo con las matrices triangulares superiores en GL3(C) es un Borel, pero no hay un toro maximal dividido.