Demostrando que cualquier transformación lineal puede ser representada como una matriz

Question

Estoy tratando de demostrar que

Teorema. Considera una transformación lineal $T : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$. La transformación $T$ puede ser representada como un producto de matrices $\mathbf x \mapsto A \mathbf x$, para alguna matriz $A \in \mathbb R^{n \times n}$.

Aquí está mi intento de una prueba constructiva.

Prueba. Considera una matriz $\mathbf x \in \mathbb R^n$ dada por $$\begin{align*} \mathbf x &= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}. \end{align*}$$ Construiremos una matriz $A \in \mathbb R^{n \times n}$ tal que $T(\mathbf x) = A \mathbf x$.

El vector $\mathbf x$ también se puede escribir como $$\begin{align*} \mathbf x &= x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + \dotsb + x_n \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= x_1 \mathbf{e}_{1} + x_2 \mathbf{e}_{2} + \dotsb + x_n \mathbf{e}_{n} \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i \mathbf{e}_{i}, \end{align*}$$ donde $\mathbf{e}_{i}$ son los vectores de base estándar en $\mathbb R^n$.

Considera la transformación $T(\mathbf x)$. Reescribiendo $\mathbf x$ como arriba, tenemos $$\begin{align} T(\mathbf x) &= T \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \mathbf{e}_{i} \right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} T(x_i \mathbf{e}_{i}) \\ T(\mathbf x) &= \sum_{i=1}^{n} x_i T(\mathbf{e}_{i}). \tag{1} \end{align}$$

Sea la matriz $A \in \mathbb R^{n \times n}$ definida por $$\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} T(\mathbf{e}_{1}) & T(\mathbf{e}_{2}) & \cdots & T(\mathbf{e}_{n}) & \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \end{align*}$$ donde cada $T(\mathbf{e}_{i})$ es una columna de $A$, y cada $a_{ij} = T(\mathbf{e}_{i}) \cdot \mathbf{e}_{j}$ es la componente $j$-ésima de $T(\mathbf{e}_{i})$. Luego, por la definición de la multiplicación matriz-vector, tenemos $$\begin{align*} A \mathbf x &= \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} x_1 a_{11} + \dotsb + x_n a_{1n} \\ \vdots \\ x_1 a_{n1} + \dotsb + x_n a_{nn} \\ \end{bmatrix} \\ &= x_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix} + \dotsb + x_n \begin{bmatrix} a_{n1} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{bmatrix} \\ &= x_1 T(\mathbf{e}_{1}) + \dotsb + x_n T(\mathbf{e}_{n}) \\ A \mathbf x &= \sum_{i=1}^{n} x_i T(\mathbf{e}_{i}). \tag{2} \end{align*}$$

Por lo tanto, por las ecuaciones (1) y (2), tenemos que $$\begin{align*} T(\mathbf x) &= \sum_{i=1}^{n} x_i T(\mathbf{e}_{i}) & A \mathbf x &= \sum_{i=1}^{n} x_i T(\mathbf{e}_{i}), \end{align*}$$ y llegamos a $T(\mathbf x) = A \mathbf x$, como se quería demostrar.

Cualquier pensamiento o sugerencia sería apreciada.

Answer 1

La prueba es correcta tal como está escrita.