¿Matriz de covarianza vs. Matriz de covarianza por pares?

Question

Encontré esta ecuación aquí para calcular una matriz de covarianza de cualquier cantidad de variables utilizando álgebra de matrices. $$\frac1{N} (X - 1\bar{x})^T(X - 1\bar{x}^T) $$ Para una matriz dada $X$ con muestras $N$. El siguiente código en SAS lo he encontrado en el enlace anterior.

ONES = J(N, 1, 1);
meanvec = (1/N)*t(X)*ONES;
mean_matrix = ONES*t(meanvec);
cov_matrix = (1/n) * t(X- mean_matrix) * (x - mean_matrix);

Sin embargo, no tengo SAS en mi estación de trabajo, así que convertí esto a R que es casi idéntico.

ONES <- matrix(1, nrow=N, ncol=1)
meanvec <- (1/N) * t(X) %*% ONES
mean_matrix <- ONES %*% t(meanvec)
cov_matrix <- (1/N) * t(X - mean_matrix) %*% (X - mean_matrix)

Ahora, aquí es donde tengo problemas. Tomemos esta matriz de muestra $X$

X
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   90   60   90
[2,]   90   90   30
[3,]   60   60   60
[4,]   60   60   90
[5,]   30   30   30

Si ejecuto el código anterior obtengo la siguiente matriz de covarianza.

cov_matrix
     [,1] [,2] [,3]
[1,]  504  360  180
[2,]  360  360    0
[3,]  180    0  720

Pero cuando ejecuto la función cov del paquete stats obtengo

cov(X)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]  630  450  225
[2,]  450  450    0
[3,]  225    0  900

que son las covarianzas por pares entre columnas (verificado por cov(X[,1], X[,1]). Lamento si me estoy perdiendo algún concepto matemático básico aquí, ¿pero cuál es la diferencia aquí? ¿Por qué veo que 'devuelve una matriz de covarianza' de dos cosas que devuelven 'tipos' diferentes de matrices de covarianza?

Esto es estrictamente un concepto de aprendizaje para mí, así que agradecería cualquier información adicional que puedas proporcionar para ayudarme a entender estas diferencias.

Answer 1

Respondido en los comentarios:

Una matriz de covarianza es simplemente una matriz de covarianzas en pares, por lo que no estoy seguro acerca de la distinción que estás haciendo.

– dsaxton

Usa $N−1$ en lugar de $N$ para obtener la llamada versión "no sesgada"

– rvl

Consulta (1) la página de ayuda para cov; (2) ¿Cómo acordaron los estadísticos usar (n-1) como el estimador no sesgado para la varianza poblacional sin simulación?; y (3) Explicación intuitiva para dividir por $n-1$ al calcular la desviación estándar? para intuición. Para obtener más información, busca en corrección de desviación estándar.

– whuber