Teorema de existencia sobre soluciones débiles de ecuaciones diferenciales ordinarias

Question

Considera una ecuación diferencial vectorial ordinaria de la forma $$ \begin{align*} \dot y(t) &= f(t,y(t)), \\ y(0) &= y_0 \in \mathbb{R}^n. \end{align*} $$ Es bien sabido que si $f$ es continua y además continuamente Lipschitz en un sentido apropiado, entonces existe una solución única $y \in C^1([0,T], \mathbb{R}^n)$ que satisface la ecuación diferencial en cada punto del intervalo de tiempo $(0,T)$ (Picard-Lindelöf).

La pregunta: ¿Qué suposiciones generales sobre $f$ aseguran la resolvibilidad en un sentido (Sobolev) débil? En particular, quiero que la solución $y$ esté en $H^1 = W^{1,2}$, es decir, $y$ debería ser $L^2$, $y$ debería ser débilmente diferenciable, $y'$ debería ser $L^2$ y la derivada débil de $y$ debería coincidir con $f(t,y(t))$ casi en todas partes.

Esta debería ser una pregunta extremadamente básica, pero desconozco literatura relevante.

[Parece que tengo una prueba de existencia en el caso de $f(t,y) = A(t) y$, donde $A \in L^2([0,T], \mathbb{R}^{n \times n})$, al imitar la prueba habitual del teorema de Picard-Lindelöf y simplemente considerando el operador integral habitual como un operador $L^2([0,T], \mathbb{R}^n) \to L^2([0,T], \mathbb{R}^n)$. Este caso es particularmente importante para mí. Nótese que aquí, $f(t,y)$ no es continua en $t$.]

Answer 1

Esto es principalmente para cualquier persona que encuentre esta pregunta y quiera una respuesta más detallada. También hay respuestas parciales en la pregunta misma y en los comentarios. Intento ampliar un poco con referencias y dar una aplicación típica para este formalismo que surge en el estudio de EDP evolutivas.

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Queremos investigar la EDO $$ \begin{cases} \dot y(t)=f(t,y) \\ y(0)=y_0. \tag{$\star$} \end{cases}$$ Tu objetivo es equipar $f$ con condiciones tales que la EDO tenga una solución $y \in H^1(0,T;\mathbb{R}^d)$ casi en todas partes.

La palabra clave ya fue dada: Teorema de Carathéodory

Es la extensión del teorema de existencia de Peano a EDO con un lado derecho discontinuo. Da la existencia de una solución en un espacio de Sobolev. Una versión corta se puede encontrar en "Nonlinear Partial Differential Equations with Applications" de Tomas Roubicek.

Teorema (Carathéodory). Sea $T$ fijo y $f: (0,T) \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$ tal que $f(t,\cdot) \in C(\mathbb{R}^k)$, $f(\cdot,r) \in L^1(0,T)$ y $|f(t,r)| \leq \gamma(t)+C|r|$ para alguna $\gamma \in L^1(I)$. Entonces ($\star$) tiene casi en todas partes una solución $y \in W^{1,1}(0,T;\mathbb{R}^k)$. Además, si $f(t,\cdot)$ es Lipschitz continuo, entonces la solución es única.

• Aquí $f(\cdot,r)$ indica la transformación $t \mapsto f(t,r)$ para $r$ fijo y análogamente para $f(t,\cdot)

• Otras fuentes son:

  • "Finite Element Methods for Incompressible Flow Problems" de Volker John
  • "Ordinary Differential Equations" de Wolfgang Walter
  • "Ordinary Differential Equations" de Jack Hale

• Volvemos a un comentario que menciona la caracterización ACL. Dado que $y \in W^{1,1}(0,T;\mathbb{R}^k) \hookrightarrow C([0,T];\mathbb{R}^k)$ y $y' \in L^1(0,T,\mathbb{R}^k)$ tenemos que $y \in AC([0,T];\mathbb{R}^k)$

• Ahora quieres una solución en $H^1$. Esto puede lograrse fácilmente si asumimos adicionalmente que $f(\cdot,r) \in L^2(0,T)$.

• Probablemente la principal aplicación de este teorema es en la existencia de soluciones débiles de EDP evolutivas al hacer una aproximación de Galerkin. Allí reducimos el problema de dimensión infinita a uno de dimensión finita y reducimos la EDP a una EDO. En su mayoría, el lado derecho está en un espacio como $L^2(0,T;H^{-1})$ y teoremas clásicos como Peano no son aplicables.

  • Ejemplo: Consideramos la EDP parabólica $y'+Ay=f$ en $\Omega \times (0,T)$ con contorno de Dirichlet homogéneo y datos $f\in L^2(0,T;H^{-1})$, $y_0 \in L^2$. $A$ es típicamente un operador diferencial parcial de segundo orden en forma de divergencia. La forma débil es $\langle y',v \rangle_{H^{-1}} + a(y,v)= \langle f,v \rangle_{H^{-1}}$ para todo $v\in H_0^1$ donde la forma bilineal $a$ corresponde a $A$. El problema de dimensión finita se lee $\langle y_k',v \rangle_{H^{-1}} + a(y_k,v)= \langle f,v \rangle_{H^{-1}}$ para todo $v \in V_k$ donde $V_k$ es tal que $\cup_k V_k$ es denso en $H_0^1$. Con el ansatz de Galerkin este problema se reduce a una EDO con el lado derecho vectorial $F(t)=(\langle f(t),v_j \rangle_{H^{-1}})_j \in L^2(0,T;\mathbb{R}^k)$. Así que el teorema de Carathéodory da una solución $y_k \in H^1(0,T;V_k)$ al problema de Galerkin. Al final se derivan estimaciones de energía y se obtiene que una subserie de $y_k$ converge a un $y$ que es una solución débil de la EDP original. Para una referencia, ver por ejemplo "Optimization with PDE Constraints" de Hinze, Pinnau, Ulbrich.