¿Cuál es el estado actual de la conjetura de positividad de Lusztig para un dato Cartan simétrico?

Question

Esto está relacionado con la pregunta anterior aquí

En la Conjetura 25.4.2 en su "Introducción a los Grupos Cuánticos", Lusztig conjetura que "Si el dato de Cartan es simétrico, entonces las constantes de estructura $m_{a,b}^c$, $\hat m_c^{a,b}$ están en $N[v,v^{-1}]$.

¿En qué casos se ha probado esto? Solo me interesa en grupos clásicos, específicamente grupos reductivos divididos sobre $Z$ construidos a través de bases canónicas de Lusztig (especializado en $v=1$). Me encantaría si las constantes de estructura fueran no negativas, para que no haya signos problemáticos flotando alrededor en la antípoda. ¿Cuándo se sabe que este es el caso? Mis búsquedas me llevan a sospechar que algo se sabe en el caso simplemente enlazado. ¿Algo más general aún? ¿Referencias? No estoy interesado en el caso no simétrico.

Answer 1

Debes tomar esto con reservas, pero yo supondría que esto se menciona en la literatura en el tipo A y en ningún otro tipo. Se sigue en tipo A a partir de la construcción de Beilinson-Lusztig-MacPherson, creo. Esto se discute un poco en este artículo de Yiqiang Li.

Para el tipo ADE, una persona astuta puede derivar esto del Teorema 1.19 en mi artículo KI-HRT II; esto no se afirma explícitamente (actualmente estoy escribiendo un documento separado sobre bases canónicas), pero solo requiere un pequeño giro en los argumentos actuales. (Básicamente, se debe demostrar que el Teorema 1.19 implica que la base ortodoxa de $\dot U$ es canónica, y las bases ortodoxas siempre tienen coeficientes de estructura positivos).

Para tipos simétricos arbitrarios, esto es más complicado (la discusión anterior utiliza fuertemente que las representaciones de peso más alto y más bajo coinciden en tipo finito). En este momento, creo que el principal obstáculo es demostrar 4.13 de el artículo de Li; creo que sé cómo hacerlo, pero aún no está escrito, y no ha sido completamente revisado en busca de errores tontos. Eso establecería esto para todos los tipos simétricos.