Un espacio de móduli es un conjunto que parametriza objetos con una propiedad fija y que está dotado de una estructura particular. Esta debería ser una definición intuitiva y general de lo que es un espacio de móduli.
Ahora, en el contexto de la geometría algebraica, nos referimos a un espacio de móduli como un esquema que (co)representa un functor particular, es decir, \begin{equation} \mathcal{M}:\,\{\mathfrak{schemes}\}^{\circ}\longrightarrow\{\mathfrak{sets}\} \end{equation> que se llama el $functor \,de \,móduli$. La cuestión de si es (co)representable se llama el $problema \;de \,móduli$.
Mi pregunta es, ¿cómo imagina un geómetra diferencial un espacio de móduli? Es decir, pensé que lo piensa de la misma manera que arriba (reemplazando la categoría de esquemas por una categoría más adecuada), pero resulta que no es así.
¡gracias!
EDIT: He visto que algunas personas siguen viendo esta publicación, así que tal vez valga la pena agregar algo. En primer lugar, la geometría de una variedad $C^{\infty}$ es mucho menos rígida que la de una variedad algebraica. Esto se refleja, por ejemplo, en el hecho de que en general podemos encontrar muchos automorfismos de los objetos en los que estamos interesados. En particular, en la mayoría de los casos (y probablemente en 'todos' los casos) no tenemos esperanza de obtener un espacio de móduli fino: esto justifica el hecho de que, en geometría diferencial, uno generalmente habla de un espacio de móduli sin especificar si es fino o no.
En segundo lugar, con respecto a mi descripción del problema de móduli. Recientemente he examinado la teoría de los $C^{\infty}$-esquemas (ver http://arxiv.org/pdf/1104.4951v2.pdf). Esta es una generalización del concepto de una variedad $C^{\infty}$ de la misma manera en que un esquema es una generalización de una variedad algebraica. Un aspecto interesante de esta teoría es, por ejemplo, que una variedad $C^{\infty}$ es siempre un $C^{\infty}$-esquema afín. Reemplazando la categoría de $C^{\infty}$-esquemas en el functor de móduli definido anteriormente, podemos pensar en un espacio de móduli de $C^{\infty}$-objetos de la manera clásica algebraica. Además, esto conduce de manera natural a una teoría de geometría diferencial derivada.
Finalmente, me siento bastante seguro con esto. Sin embargo, esta teoría está modelada en el análogo algebraico y es muy reciente. Aunque mis intereses son principalmente en geometría algebraica, había hecho esta pregunta porque me preguntaba cómo los matemáticos de diferentes áreas de las matemáticas abordan el problema de estudiar los espacios de móduli (el objetivo básico era comprender mejor la sensación matemática detrás de estos objetos). Y dado que los espacios de móduli en geometría diferencial fueron estudiados antes (o al menos sin) la teoría de $C^{\infty}$-esquemas, mi pregunta principal aún no está contestada.
