Deje $m_X(t)$ ser la función generadora de momentos de la variable aleatoria $X$. Demuestre que $m_X(t)=\sum_{k=0}^\infty E(X^k)\frac{t^k}{k!}$

Question

Sea $m_X(t)$ la función generadora de momentos de la variable aleatoria $X$. Demostrar que $m_X(t)=\sum_{k=0}^\infty E(X^k)\frac{t^k}{k!}$

Entonces tengo:

$$ \begin{split} m_X(t) &= \mathbb{E}\left[ e^{tX} \right]\\ &= \mathbb{E}\left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{(tX)^k}{k!} \right] \\ &=\sum_{k=0}^\infty \mathbb{E}\left[ X^k \right] \\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!} \mathbb{E}\left[ X^k \right] \end{split} $$

Answer 1

Para hacer la pregunta precisa, asumiré que $Ee^{tX} <\infty$ para todos los $t$. Dado que $e^{|tX|} \leq e^{tX}+e^{-tX}$, obtenemos $Ee^{|tX|} <\infty$ y así $E\sum_n \frac {|t^{n} |X^{n}} {n!} <\infty$. Ahora podemos invocar el Teorema de Fubini/Tonelli para justificar el intercambio de la suma y la expectativa.