Orden del producto del grupo abeliano

Question

Esta es una pregunta de Álgebra de Artin. Sean a, b elementos de un grupo abeliano de órdenes m, n respectivamente. ¿Qué se puede decir sobre el orden de su producto ab?

Aquí está mi intento:

$a^m=1=b^n$

$a^mb^n=1$

$b^n=a^{-m}$

$b^{n-1}=a^{-(m-1)}
(No estoy seguro si puedo asumir el paso anterior)

Por lo tanto:

$aa^{m-1}bb^{n-1}=aa^{m-1}a^{-(m-1)}b=1$

$ab=1$

Entonces, el orden del producto $ab$ es $1$

Answer 1

Supongamos

$$\text{ord}(a)=m\;,\;\;\text{ord}(b)=n\;,\;\;\text{mcd}\,(m,n)=d\implies xm+yn=d\;,\;\;x,y\in\Bbb Z\;,\;\;m,n,d\in\Bbb N$$

Ahora, define $\;c:=ab\;$ :

$$c^{mn/d}\stackrel{\text{¿por qué?}}=a^{mn/d}\;b^{mn/d}=\left(a^m\right)^{n/d}\left(b^n\right)^{m/d}=1\cdot1=1$$

(Observa que $\;\frac nd\,,\,\,\frac md\in\Bbb Z\;$)

Pero por supuesto

$$\frac{mn}d=\text{mcm}\,(m,n)\;\;,\;\;\;\text{y hemos terminado}$$