Función zeta de Riemann y función Bernoulli

Question

Me he encontrado con el siguiente problema:

Demuestra que $$\zeta(2n+1)=\frac{(-1)^{n+1}(2\pi)^{2n+1}}{2(2n+1)!}\int_0^{1}B_{2n+1}(x)\cot({\pi}x)dx$$

donde $B_{2n+1}(x)$ es el polinomio de Bernoulli.

Este problema se encuentra aquí .

Answer 1

Tenemos que, si $0<x\leq1$ el polinomio de Bernoulli puede escribirse como $$B_{2n+1}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n+1}\frac{2\left(2n+1\right)!}{\left(2\pi\right)^{2n+1}}\sum_{k\geq1}\frac{\sin\left(2\pi kx\right)}{k^{2n+1}}.$$ Puedes encontrar una prueba en Apostol, "Introducción a la teoría analítica de números", página 267. Queda por señalar que, si $k$ es un número entero $$\int_{0}^{1}\sin\left(2\pi kx\right)\cot\left(\pi x\right)dx=1.$$