Escribir un homomorfismo en forma multiplicativa

Question

Considera el grupo aditivo $\mathbb {Z_2}=\{0,1\}$ y considera el grupo $\mathbb Z_2^n$. Que $u_1,\ldots,u_d$, $(d>n)$ sean elementos no necesariamente distintos, no nulos de $\mathbb Z_2^n$. Define el mapeo $A:\mathbb Z_2^d\to\mathbb Z_2^n$ enviando $E_i$ a $u_i$ donde $E_i=(0,\ldots,1,\ldots,0)$.

Si $u_i=(a_{1i},\ldots,a_{ni})$ entonces $A$ es dado por la matriz $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1d}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nd}\end{pmatrix}$$ Donde los $a_{ij}$ pueden ser $0$ o $1$.

Ahora identifica $\mathbb Z_2$ con $\{1,-1\}$ el grupo multiplicativo de raíces cuadradas de la unidad. En esta notación ¿cómo escribiría el mapeo $A$ como una matriz? ¿Debería simplemente reemplazar los $0$'s por $1$ y los $1$'s por $-1$? Si es así, ¿cómo operaría el $A$ en $E_i'=(1,\ldots,-1,\ldots1)$?

Answer 1

En la presentación $\mathbb{Z}_2=\{-1, 1\}$ ¡no puedes escribir tu homomorfismo de grupo como una matriz! De hecho, en la presentación $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$ ¡tampoco puedes hacerlo si estás considerando $\mathbb{Z}_2$ como un grupo y no como un anillo!

Para aclarar esto, considera un homomorfismo $\phi: \mathbb{Z}_2^2\to \mathbb{Z}_2^2$ que envía $(1,0)\mapsto (a,b)$ y $(0,1)= (c,d)$. La pregunta es si podemos escribir $\phi(x,y)=A(x,y)^T$ para alguna matriz $A$? Supongamos que la respuesta es sí, entonces $$\phi(x,y) = \begin{pmatrix}a & c\\ b& d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot x+c\cdot y\\ b\cdot x+d\cdot y \end{pmatrix}$$ Hay algo muy mal en la forma anterior: ¿Qué quieres decir con $a\cdot x$? ¡La única operación en $\mathbb{Z}_2$, considerada únicamente como un grupo, es la adición! ¡Pero aquí estamos usando tanto la adición como la multiplicación, así que de hecho estamos considerando $\mathbb{Z}_2$ como un anillo y no como un grupo! Las presentaciones de matrices para homomorfismos de grupos son generalmente imposibles debido a la naturaleza del producto de matrices que requiere tanto la adición como la multiplicación.

Afortunadamente, una vez que consideramos $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$ como un anillo, entonces todo tiene sentido. Pero si presentas $\mathbb{Z}_2=\{1,-1\}$ ¡no hay forma de definir una buena adición! El segundo $\mathbb{Z}_2$ no es un anillo (al menos de ninguna manera obvia).

Extra: Hay una forma de lidiar con esto que no es útil en absoluto. Define la adición en $\mathbb{Z}_2=\{-1,1\}$ como $a+b=a*b$ ($*$ es la multiplicación de $\mathbb{Z}$) y la multiplicación por $1\cdot a = 1$ y $-1\cdot a=a$. Esto es esencialmente renombrar $0$ por $1$ y $-1$ por $1$. En este sentido, en $A$ reemplazas todos los 0s y 1s respectivamente, pero luego necesitas usar esta nueva adición y multiplicación. Sin embargo, esto es completamente inútil en la práctica...