Las isomorfismos de adjunción implican plenitud y fidelidad

Question

Dejen que $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ y $G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$ sean dos funtores tales que $\alpha:1_{\mathcal{B}}\cong F\circ G$ y $\beta:G\circ F\cong 1_{\mathcal{C}}$. Quiero demostrar que $F$ es pleno y fiel.

Se puede deducir que $F\circ G$ es pleno y fiel. A partir de esto, podemos concluir que $G$ es fiel. No soy capaz de probar que $F$ es pleno.

Dejen que $C,C'\in\mathcal{C}$ y $b:F(C)\rightarrow F(C')$. Debemos encontrar un morfismo en $\mathcal{C}(C,C')$ cuya imagen bajo $F$ sea igual a $b$. Pensé en usar la isomorfismo natural $\alpha$: $$\alpha_{F(C')}\circ b=F(G(b))\circ\alpha_{F(C)}.$$ Pero parece que este camino lleva a nada. Imagino que la prueba es bastante trivial pero no logro verla. ¿Alguna pista?

Edit:

Resuelto: Creo que el candidato es $\beta_{C'}\circ G(b)\circ\beta^{-1}_C$.

Answer 1

Dado que $\mathcal{D}(d, d’)\xrightarrow{G}\mathcal{C}(Gd, Gd’)\xrightarrow{F} \mathcal{D}(FGd, FGd’)$ es un isomorfismo, el segundo mapa es sobreyectivo. Ahora, por $G\circ F\cong \mathrm{id}$ sabemos que $G$ es esencialmente sobreyectivo, por lo que para cualquier $c, c’\in \mathcal{C}$ la observación anterior se puede usar para demostrar que $\mathcal{C}(c, c’)\xrightarrow{F} \mathcal{D}(Fc, Fc’)$ es sobreyectivo.