Conjunto de medidas positivas y espacio de Banach

Question

En la teoría de la medida, recientemente escuché una afirmación en mi clase que dice que el conjunto de todas las medidas (positivas) no forma un espacio de Banach (mientras que el conjunto de medidas signadas sí forma un espacio de Banach).

Sé que para comenzar la demostración primero necesitas definir una norma. ¿Es arbitraria? Entonces debo demostrar que es una norma. Luego tendría que probar que cada sucesión de Cauchy de medidas positivas tiene un límite en el espacio, lo que significa que sigue siendo una medida positiva. ¿Es necesario construir tal sucesión?

¿Alguien puede darme algunas pistas?

Gracias por el comentario.

Answer 1

Para el conjunto de medidas con signo (en una sigma-álgebra $\mathcal F$ en un conjunto $\Omega$) podemos usar la norma de "variación total".

$$ \|\sigma\|_{TV} = \sigma(P)-\sigma(N) $$ donde $P$ es el conjunto positivo, $N$ es el conjunto negativo: $$ N \cup P = \Omega,\qquad N \cap P = \varnothing \\ \sigma(A) \ge 0\qquad\text{para todo } A \subseteq P \\ \sigma(A) \le 0\qquad\text{para todo } A \subseteq N $$ Te dejo a ti mostrar que el espacio de medidas con signo es completo en esta norma.