May you please provide the text that needs to be translated from English to Spanish?

Question

Sea $m>1$ un número natural con $m \not\equiv 0 \pmod{10}$

Consideremos las potencias $m^n$, para las cuales hay al menos un dígito que no aparece en la representación decimal.

¿Existe un $n$ más grande con la propiedad deseada para cualquier $m$? Si es así, definimos $n(m)$ como este número.

Ejemplos:

$$m=2 \rightarrow 2^{168} = 374144419156711147060143317175368453031918731001856$$

no contiene el dígito $2$.

Todas las potencias anteriores hasta $2^{10000}$ contienen todos los dígitos, así que $2^{168}$ parece ser la potencia más grande con la propiedad deseada.

$$m=3 \rightarrow 3^{106} = 375710212613636260325580163599137907799836383538729$$

no contiene el dígito $4$.

Todas las potencias anteriores hasta $3^{10000}$ contienen todos los dígitos, así que $3^{106}$ parece ser la potencia más grande con la propiedad deseada.

Así que, probablemente $n(2)=168$ y $n(3)=106$ son válidos.

¿Está definido $n(m)$ para cualquier $m$, y si es así, se pueden dar límites razonablemente precisos?

Answer 1

Algunas observaciones:

He probado $2^n$ hasta $n$\=250000 y encontré que $n(2)=168$ todavía se mantiene. Después de jugar mucho con este problema, conjeturo que $n(m)\le168$ para todos los $m$.

Avancé un poco más y encontré los siguientes valores para números hasta 340. Todos los valores se han obtenido calculando todas las potencias hasta el exponente 50000 y encontrando la mayor potencia con un dígito faltante en el resultado.

También he verificado los valores $n(m)$ en el rango $m=10^6...10^9$ y encontré que los máximos locales varían de alrededor de 20 a 10. Y de vez en cuando se encuentra una verdadera joya:

$32886598^{26} = \\ 2770082411 \ 7701047414 \ 3812147939 \ 0119763476 \ 3327029432 \\ 3084767371 \ 7070016012 \ 4780829912 \ 9634078101 \ 6224929090 \\ 6339478284 \ 9104901979 \ 0146722638 \ 7896000449 \ 7946341749 \\ 3932606670 \ 3148399037 \ 2721668024 \ 4923962610 \ 417664$

196 dígitos con el dígito 5 faltante.

(2,168), (3,106), (4,84), (5,65), (6,64), (7,61), (8,56), (9,53), 
(11,41), (12,51), (13,37), (14,34), (15,34), (16,42), (17,27), (18,25), (19,44), 
(21,29), (22,24), (23,50), (24,23), (25,29), (26,31), (27,), (8), (28,28), (29,45), 
(31,28), (32,18), (33,24), (34,34), (35,18), (36,32), (37,25), (38,17), (39,41), 
(41,23), (42,19), (43,20), (44,29), (45,39), (46,32), (47,15), (48,29), (49,16), 
(51,29), (52,29), (53,30), (54,18), (55,17), (56,33), (57,19), (58,31), (59,27), 
(61,26), (62,19), (63,24), (64,28), (65,17), (66,15), (67,21), (68,25), (69,13), 
(71,25), (72,39), (73,17), (74,19), (75,19), (76,21), (77,24), (78,19), (79,30), 
(81,26), (82,25), (83,19), (84,27), (85,17), (86,25), (87,23), (88,23), (89,32), 
(91,23), (92,22), (93,16), (94,18), (95,26), (96,20), (97,24), (98,20), (99,21), 
(101,18), (102,17), (103,42), (104,28), (105,29), (106,21), (107,22), (108,17), (109,31), 
(111,32), (112,23), (113,19), (114,16), (115,30), (116,16), (117,17), (118,20), (119,26), 
(121,19), (122,23), (123,16), (124,13), (125,18), (126,17), (127,23), (128,24), (129,16), 
(131,16), (132,22), (133,18), (134,21), (135,16), (136,34), (137,27), (138,12), (135,16), (136,34), (137,27), (138,12), (139,14), 
(141,20), (142,19), (143,18), (144,20), (145,12), (146,17), (147,15), (148,16), (149,11), 
(151,14), (152,9), (153,10), (154,14), (155,18), (156,21), (157,20), (158,19), (159,30), 
(161,13), (162,19), (163,16), (164,26), (165,15), (166), (18), (167,13), (168,12), (169,15), 
(171,17), (172,19), (173,17), (174,12), (175,23), (176,21), (177,15), (178,13), (179,17), 
(181,11), (182,9), (183,10), (184,14), (185,24), (186,39), (187,17), (188,9), (189,12), 
(191,21), (192,12), (193,13), (194,20), (195,12), (196,17), (197,34), (198,20), (199,16), 
(201,12), (202,13), (203,13), (204,17), (205,22), (206,15), (207,21), (208,19), (209,16), 
(211,14), (212,22), (213,17), (214,17), (215,31), (216,15), (217,12), (218,17), (219,13), 
(221,16), (222,14), (223,18), (224,16), (225,17), (226,13), (227,27), (228,13), (229,18), 
(231,20), (232,15), (233,21), (234), (15), (235,20), (236,15), (237,25), (238,18), (239,16), 
(241,13), (242,26), (243,20), (244,27), (245,12), (246,25), (247,15), (248,10), (249,14), 
(251,11), (252,14), (253,11), (254,14), (255,28), (256,), (1), (257,20), (258,16), (259,24), 
(261,17), (262,19), (263,20), (264,15), (265,11), (266,20), (267,17), (268,14), (269,12), 
(271,36), (272,15), (273,18), (274,14), (275,13), (276,9), (277,17), (278,11), (279,13), 
(281,14), (282,14), (283,21), (284,13), (285,27), (286,13), (287,13), (288,18), (289,13), 
(291,18), (292,13), (293,14), (294,18), (295,8), (296,23), (297,25), (298,15), (299,15), 
(301,22), (3), (2,17), (303,19), (304,13), (305,10), (306,8), (307,11), (308,20), (309,12), 
(311,16), (312,15), (313,14), (314,17), (315,19), (316,14), (317,20), (318,12), (319,12), 
(321,9), (322,13), (323,11), (324,11), (325,9), (326,22), (327,13), (328,23), (329,15), 
(331,28), (332,18), (333,16), (334,13) ...

Si estás interesado en la longitud del resultado, algunos elementos de esta lista "elevarán la vara":

$2^{168}$ tiene 51 dígitos.

$7^{61}$ tiene 52 dígitos.

$12^{51}$ tiene 56 dígitos.

$19^{44}$ tiene 57 dígitos.

$23^{50}$ tiene 69 dígitos.

$72^{39}$ tiene 73 dígitos.

$103^{42}$ tiene 85 dígitos.

$186^{39}$ tiene 89 dígitos.

$349^{39}$ tiene 100 dígitos.

$476^{41}$ tiene 110 dígitos.

$1955^{39}$ tiene 129 dígitos.

$42806^{30}$ tiene 139 dígitos.

$165541^{27}$ tiene 141 dígitos.

$191131^{27}$ tiene 143 dígitos.

$700419^{25}$ tiene 147 dígitos

$700419^25$ tiene 147 dígitos.

$874395^{27}$ tiene 161 dígitos.

$4408232^{25}$ tiene 167 dígitos.

$5397917^{27}$ tiene 182 dígitos.

$8751594^{27}$ tiene 188 dígitos.

$32886598^{26}$ tiene 196 dígitos

$54013149^{28}$ tiene 217 dígitos

$1274902129^{24}$ tiene 219 dígitos

$1337169719^{24}$ tiene 220 dígitos

EDITAR: Récord actual:

$1419213312^{25}$ tiene 229 dígitos y sin el dígito 7

Answer 2

El límite se mejora a $2^{100000}$. Lo leí en un sitio web de OEIS sobre potencias Zerofree