¿Cómo encontramos la solución del problema en forma entrelazada?

Question

Consideramos la ecuación diferencial $$(x-xy(x))+(y(x)+x^2)y'(x)=0$$

He encontrado el factor integrante $\mu (x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$.

Usando esto, tengo que encontrar la solución del problema en forma entrelazada.

¿Podrías darme algunas pistas sobre qué se supone que debo hacer?

Me he quedado atascado en este momento...

Multiplicando por el factor integrante obtenemos $$\sqrt{x^2+y^2}(x-xy(x))dx+\sqrt{x^2+y^2}(y(x)+x^2)dy=0$$ ¿o no?

¿Cómo podríamos continuar?

$$$$

EDITAR:

¿Quizás es así? $$y'=F(y,x) \\ \Rightarrow (x-xy(x))+(y(x)+x^2)F(y,x)=0 \\ \Rightarrow y(x)(1-x)+x^2+x+x^2F(y,x)=0 \\ \Rightarrow y(x)=-\frac{x^2F(y,x)-x-x^2}{1-x}$$

Answer 1

CONSEJO:

$$\left(x-xy(x)\right)+\left(y(x)+x^2\right)y'(x)=0\Longleftrightarrow$$ $$\left(x^2+y(x)\right)y'(x)-y(x)x+x=0\Longleftrightarrow$$

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Deje $\text{Q}(x,y)=x-xy$ y $\text{T}(x,y)=x^2+y$.

Esta no es una ecuación exacta, porque $\frac{\partial\text{Q}(x,y)}{\partial y}=-x\ne2x=\frac{\partial\text{T}(x,y)}{\partial x}$.

Encuentre un factor integrante $\mu(y)$ tal que sea exacto:

$$\mu(y)\text{Q}(x,y)+\mu\cdot\frac{\text{d}y(x)}{\text{d}x}\cdot\text{T}(x,y)=0$$

Esto significa que:

$$\frac{\partial}{\partial y}\left(\mu(y)\text{Q}(x,y)\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\mu(y)\text{T}(x,y)\right)$$

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$$\frac{\text{d}\mu(y)}{\text{d}y}\left(x-yx\right)-\mu(y)x=2x\mu(y)\Longleftrightarrow$$ $$\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=-\frac{3}{y-1}\Longleftrightarrow$$ $$\int\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}\space\text{d}y=\int-\frac{3}{y-1}\space\text{d}y\Longleftrightarrow$$ $$\ln\left(\mu(y)\right)=-3\ln\left(y-1\right)\Longleftrightarrow$$ $$\mu(y)=\frac{1}{(y-1)^3}$$

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Deje $\text{P}(x,y)=-\frac{x}{(y-1)^2}$ y $\text{R}(x,y)=\frac{x^2+y}{(y-1)^3}$.

Esta es una ecuación exacta, porque $\frac{\partial\text{P}(x,y)}{\partial y}=\frac{2x}{(y-1)^3}=\frac{\partial\text{R}(x,y)}{\partial x}$.

Defina $f(x,y)$ tal que $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\text{P}(x,y)$ y $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\text{R}(x,y)$:

Entonces, la solución se dará por $f(x,y)=\text{C}$, donde $\text{C}$ es una constante arbitraria.

Integre $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ para encontrar $f(x,y)$ y donde $g(y)$ es una función arbitraria de $y$:

$$f(x,y)=\int-\frac{x}{(y-1)^2}\space\text{d}x=-\frac{x^2}{2(y-1)^2}+g(y)$$

Ahora, diferencie $f(x,y)$ para encontrar $g(y)$:

$$g'(y)=\frac{y}{(y-1)^3}$$

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Entonces, al final tienes que resolver:

$$-\frac{x^2}{2(y-1)^2}+\frac{1-2y}{2(y-1)^2}=\text{C}$$

Answer 2

Así es como trabajé este problema. Veo que es similar al de Jan Eerland en varios aspectos, incluido el factor integrante de $\frac1{(1-y)^3}$. Sin embargo, creo que hay suficientes diferencias como para justificar su publicación.

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Comenzando con la ecuación $$ (x-xy)+\left(y+x^2\right)y'=0\tag{1} $$ queremos encontrar un factor integrante $u$ para que $$ \frac{\partial}{\partial y}\left[u(x-xy)\right]=-xu+(x-xy)u_y\tag{2} $$ y $$ \frac{\partial}{\partial x}\left[u\!\left(y+x^2\right)\right]=2xu+\left(y+x^2\right)\!u_x\tag{3} $$ sean iguales.

Restando $(2)$ y $(3)$ y dividiendo por $x$ obtenemos $$ (1-y)u_y=3u+\left(\frac yx+x\right)\!u_x\tag{4} $$ Si hacemos que $u$ dependa solo de $y$, entonces $u_x=0$ y $(4)$ se puede resolver como $$ u=\frac1{(1-y)^3}\tag{5} $$ Por lo tanto, obtenemos la ecuación diferencial exacta $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\mathrm{d}f=\frac{x}{(1-y)^2}\mathrm{d}x+\frac{y+x^2}{(1-y)^3}\mathrm{d}y=0}\tag{6} $$ Para resolver $(6)$ por $f$, podemos empezar integrando a lo largo del eje $y$, es decir, $x=0$, para obtener $$ \begin{align} f(0,y)-f(0,0) &=\int_0^y\frac{t}{(1-t)^3}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac12\frac{y^2}{(1-y)^2}\tag{7} \end{align} $$ Luego integrar en la dirección $x$ para obtener $$ \begin{align} f(x,y)-f(0,0)&=f(0,y)-f(0,0)+\int_0^x\frac{t}{(1-y)^2}\mathrm{d}t\\ &=\frac12\frac{y^2}{(1-y)^2}+\frac12\frac{x^2}{(1-y)^2}\\ &=\frac12\frac{x^2+y^2}{(1-y)^2}\tag{8} \end{align} $$ Por lo tanto, la solución a $(1)$ es $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{x^2+y^2}{(1-y)^2}=C}\tag{9} $$