¿Por qué la curva de una cadena colgante no minimiza el área debajo de ella?

Question

Si tenemos una cadena de longitud fija colgando de dos puntos, sabemos que formará una curva que minimiza la energía potencial de la cadena.

Si imaginamos la cadena como teniendo muchos segmentos pequeños, entonces la energía potencial de cada segmento es $E_p = mgh$. A medida que el número de segmentos pequeños se acerca a infinito, sus masas se igualan porque la diferencia de masa entre cualquiera de los dos segmentos tiende a $0$ a medida que el número de segmentos tiende a infinito.

Por lo tanto, si queremos minimizar la energía potencial total de la cadena, necesitamos minimizar la suma de las energías potenciales de cada segmento a medida que el número de segmentos tiende a infinito. Sin embargo, dado que sabemos que en el caso límite todos los segmentos pequeños tienen la misma masa, minimizar la suma de sus energías potenciales es equivalente a minimizar la suma de sus alturas (a medida que el número de segmentos tiende a infinito).

Este límite de una suma es, por definición, la integral de la curva de la cadena. Por lo tanto, para minimizar la energía potencial de una cadena colgante, el área debajo de la cadena debe ser mínima.

Sin embargo, esto no es cierto porque se sabe que la curva que minimiza esa área es una semicircunferencia. Esto significaría que la forma de una cadena colgante es una semicircunferencia, lo cual es claramente falso.

¿Qué es lo que está mal en mi argumento? No veo una razón por la cual minimizar el área no minimiza la energía potencial. Por cierto, no conozco la física más allá del nivel de escuela secundaria, por lo que estaría muy agradecido si alguien pudiera responder esto sin matemáticas muy complicadas. Cálculo está bien.

Answer 1

Lo que está mal en tu argumento es este párrafo:

Si imaginamos la cadena como teniendo muchos segmentos pequeños, entonces la energía potencial de cada segmento es $E_p=mgh$. A medida que el número de segmentos pequeños se acerca a infinito, sus masas se igualan porque la diferencia de masa entre dos segmentos cualesquiera tiende a $0$ a medida que el número de segmentos tiende a infinito.

Especialmente la parte "sus masas se igualan".

La forma de la curva es $y=\cosh(x)$, pero para un segmento de cadena con un pequeño cambio en $x$ de $\mathrm{d}x$ en el medio, donde la pendiente es cero, la longitud del segmento es más corta en una fracción significativa que para una parte en el borde con el mismo $\mathrm{d}x$.

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Debido a los comentarios

Dijiste que la diferencia en los valores de $\mathrm{d}x$ iría a cero, eso es cierto pero es la proporción, o fracción de los valores de $\mathrm{d}x$ en diferentes partes de la cadena lo que importa como sigue...

1cm de cadena (siendo el 1cm un cambio en $x$) cerca del borde podría estar formado por un millón de pequeñas partes de $\mathrm{d}x$, pero estos millones se sumarían a una mayor masa de cadena que un millón de partes similares que componen una sección de 1cm (en la dirección de $x$) en el medio.

Answer 2

Para expresar la respuesta aceptada en términos matemáticos, si tienes una curva $y(x)$, fijada en $x_0$ y $x_L$ a una altura $h=y(x_0)=y(x_L)$, de longitud total $L$ y masa $M$, entonces la densidad de masa lineal va a ser $\lambda = M/L$.

La longitud de la curva se da por la integral de la longitud de arco

$$L=\int_{x_0}^{x_L} \sqrt{ 1+\left({dy \over dx}\right)^2} dx$$

es decir, para cada "$dx$" (variación de la coordenada $x$) la longitud local de la curva no es dada por $dx$ sino por la longitud "a lo largo" de la curva $$dL=\sqrt{1+\left({dy \over dx}\right)^2} dx$$ lo cual, como puedes ver, depende de la derivada de la curva $y'(x)={dy\over dx}$.

Esto significa que la longitud de cada segmento a lo largo de $x$ no es la misma y por lo tanto la masa infinitesimal va a ser una función de $x$ dada por

$$dm(x)=\lambda dL(x) = \lambda \sqrt{1+y'(x)^2} dx $$

Entonces la energía potencial infinitesimal (de un pequeño elemento de masa $dm(x)$ a altura $h=y(x)$) va a ser $$dU(x)=g dm(x)y(x)= g \lambda dL y(x)= g \lambda \sqrt{1+y'(x)^2} y(x)dx $$ y la integral que queremos minimizar no es el área bajo la curva (que sería $A=\int_{x_0}^{x_L} y(x)dx$ ) sino más bien la integral de energía

$$U=\int dU(x) = g \lambda \int_{x_0}^{x_L} \sqrt{1+y'(x)^2} y(x)dx $$

donde la única parte que queremos minimizar realmente es

$$A_U=\int_{x_0}^{x_L} \sqrt{1+y'(x)^2} y(x) dx \ne A$$

(A menos que, por supuesto, la curva tenga $y'(x)=0$)

Answer 3

Este límite de una suma es, por definición, la integral de la curva de la cadena.

No existe tal cosa como "la integral de la curva de la cadena". Las curvas no tienen integrales. Para una integral, necesitas tres cosas: un integrando, una función de medida y un conjunto sobre el cual estén definidos (en integrales básicas, estos son la función que estás integrando, el diferencial y los límites de integración, respectivamente). El conjunto se divide en subconjuntos, la medida de cada subconjunto se multiplica por el valor de la función en ese subconjunto, y todos los valores resultantes se suman. Por supuesto, para subconjuntos de tamaño finito, la función no tiene un valor único, por lo que se puede tomar el mínimo, el máximo o algún otro valor. Si todas las opciones convergen al mismo valor cuando las medidas de los subconjuntos tienden a cero (para una definición precisa de convergencia en la que no entraré), entonces la función es integrable, y ese valor es su integral.

Comenzaste con tu conjunto siendo el conjunto de todos los puntos a lo largo de la cadena, y cada subconjunto es un segmento de la cadena. Tomas la longitud de la cadena como la medida del segmento, y luego la energía potencial de ese segmento es la altura (integrande) por la longitud del segmento (medida), y sumas todas las energías potenciales a lo largo de la cadena (conjunto sobre el cual estás integrando).

Sin embargo, luego pasaste a hablar sobre el área. El área bajo una curva es la altura de la curva (integrande) por el ancho de la curva (medida). El ancho de una curva es diferente de la longitud; el ancho es la distancia a lo largo del eje x, mientras que la longitud es la distancia a lo largo de la propia curva.

A menudo es obvio a partir del contexto a qué se está integrando, por lo que te has acostumbrado a que no se declare explícitamente. Pero este es un caso en el que hay dos cosas diferentes con las que puedes integrar: puedes integrar con respecto al ancho de la cadena, o con respecto a la longitud.

También falta la restricción de que los extremos de la cadena estén unidos. La longitud de la cadena no coincidirá en general con la circunferencia de un semicírculo que coincida con la distancia entre los dos puntos. Estoy bastante seguro de que si la longitud es demasiado corta, la curva que minimiza el área debajo de ella será un arco de círculo, en lugar de un semicírculo, y si es más larga de lo necesario, habrá caídas verticales a cada lado y un semicírculo en medio.

Answer 4

Minimizar el área debajo de la cadena funcionaría si la masa de la cadena fuera igual en cada sección transversal vertical de igual anchura. Si este fuera el caso, entonces, el área bajo la cadena sería proporcional a la energía potencial de la cadena.

Sin embargo, sabemos que hay más masa en esas secciones transversales verticales de igual anchura donde la cadena está inclinada que en aquellas secciones donde la cadena está plana. Por lo tanto, esto "ponderará" las secciones con una longitud de cadena más inclinada más que aquellas con una longitud de cadena menos inclinada, causando más energía potencial para una longitud de cadena más inclinada que para una con una longitud de cadena menos inclinada para alturas+anchuras equivalentes. Así, excepto en casos especiales (por ejemplo, donde la cadena sea una línea recta), el área debajo de la cadena para una anchura dada no será proporcional a la energía potencial de la cadena para esa anchura.