Estoy tratando de determinar si la siguiente estructura forma un Anillo bajo la Definición de Adición y Multiplicación de Números Reales
Considera el conjunto de Números Reales de la forma:
$A = \{a + bp \:|\: a,b \in \mathbb{Q}, p \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\}$ con $p$ siendo fijo.
Y considera la estructura $\left(A, +, .\right)
Donde + y . están definidos en los Números Reales.
Es bastante fácil demostrar que los axiomas sobre la adición se cumplen y que forma un Grupo Abeliano.
Por multiplicación sin embargo no creo que esté cerrado.
Tomando dos elementos en $A$ digamos
$x_{1} = a_{1} + b_{1}p$ y $x_{2} = a_{2} + b_{2}p$
Entonces
$x_{1} \cdot x_{2} = \left(a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2}p^{2}\right) + \left(a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1}\right)p$
Ahora a menos que esté interpretando esto incorrectamente solo puedo decir que es de la forma de A : $x = a + bp \iff p^{2} \in \mathbb{Q}$
Si $p^{2} \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$
Entonces $x$ ahora toma la forma
$x = a + bp_{1} + cp_{2}$ donde $a,b,c \in \mathbb{Q}$ y $p_{1}, p_{2} \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$ y $p_{1} \neq p_{2}$
Por lo tanto no puedo concluir que el conjunto A esté cerrado bajo la multiplicación a menos que $p^{2} \in \mathbb{Q}$
¿Me he perdido algo aquí?
Gracias, David
