Intersección de una $n-$esfera y un plano (cuando no está vacía y no es un punto)

Question

Permita que la n-esfera de radio $r$ centrada en $(0,0,...,0,y)\in\mathbb{R}^{n+1}$ se defina por $$ \mathcal{S} \iff {x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2 + (x_{n+1}-y)^2 = r^2 $$ y considera la función $d$ que a cualquier punto en la bola unitaria $B(0,r)\subset \mathbb{R}^n$ asocia la coordenada dependiente $x_{n+1}\leq y$ en el hemisferio inferior de $\mathcal{S}$: $$ d\ :\ v\in B(0,r)\ \mapsto\ y -\sqrt{r^2 - \|v\|^2} $$

Para un $v = (v_1,...,v_n)\in B(0,r)$ dado, considera ahora la función $$ \forall t\in I_v\subset\mathbb{R},\quad \psi_v(t) = \big( tv_1, tv_2, ..., tv_n, d(tv) \big) $$

¿Es la imagen de $\psi_v$ un círculo?

Answer 1

Por definición de $d$ y para un $v$ dado, la imagen de $\psi_v$ siempre será un semicírculo de radio $r$ centrado en $y$ en el plano $(x-y) \cdot (\psi_v(0) \wedge \psi_v(1)) = 0$.