Mostrando que un ideal no es principal

Question

Supuse, por el contrario, que $I$ es principal, por lo que entonces $2$ y $1+\sqrt{-3}$ deben tener un factor común. Sin embargo, dado que $2$ y $1+\sqrt{-3}$ son irreducibles, los únicos factores comunes son $1$ y $-1$. Por lo tanto, $I$ no es principal.

¿Es suficiente esto? ¿Debería mostrar que $I$ es un ideal propio? ¡Gracias!

Answer 1

Sí, también debes mostrar que $I$ es propio.

Un cálculo a la bruta para mostrar que $I$ no contiene a 1: Supongamos que $a, b, c, d \in {\mathbb Z}$ son tales que $1 = (a + b \sqrt{-3}) 2 + (c + d \sqrt{-3}) (1 + \sqrt{-3})$. Entonces $2a + c - 3d + (2b + c + d)\sqrt{-3} = 1$. Por lo tanto, $2a + c - 3d = 1$ y $2b + c + d = 0$. Resolviendo para $c$ en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera ecuación da $2a - 2b - 4d = 1$, pero el lado izquierdo es par y el lado derecho es impar.

Más elegante es ir primero módulo 2 y mostrar que el ideal $(1 + \sqrt{-3})$ de ${\mathbb Z}[\sqrt{-3}]/(2)$ no es el anillo completo. El $\sqrt{-3}$ puede ser confuso, así que escribiré el anillo ${\mathbb Z}[\sqrt{-3}]/(2)$ como el anillo cociente ${\mathbb Z}_2[x]/(x^2 + 3)$ y la pregunta es si el ideal $(\overline{1 + x})$ es un ideal propio de este anillo cociente. Dado que $x^2 + 3 = x^2 - 1 = (x - 1)(x+1)$, lo es.

Finalmente, un simple ejemplo para mostrar que en efecto debes mostrar que $I$ es propio. Considera el ideal $J = (x, x+1)$ del anillo de polinomios ${\mathbb Q}[x]$. Los polinomios $x$ y $x+1$ son irreducibles, no tienen ningún factor en común, pero por supuesto $J$ sigue siendo un ideal principal, ya que $J = (1).