Puntos equidistantes en $\mathbb{R}^n$ equipados con $\|.\|_p$

Question

Mi pregunta está inspirada en otra pregunta que se hizo aquí.

Pregunta

¿Cuántos puntos $x_1,x_2,\dots,x_m \in \mathbb{R}^n$ puedo encontrar tal que $\|x_i-x_j\|_p = 1$ para todo $i\neq j$.

Para $p=2$ la respuesta es $n+1$. Puedes encontrar la prueba en el hilo de mi inspiración. Sin embargo, pensé que el resultado se sostiene para un $p\in[1,+\infty]$. Luego encontré un contraejemplo para $p=1$ y $p=\infty:

puedes elegir los puntos \begin{align*} x_1 = \left( $$\begin{matrix} 0 \\ 0\end{matrix}$$ \right),\; x_2 = \left( $$\begin{matrix} 1 \\ 0\end{matrix}$$ \right),\; x_3 = \left( $$\begin{matrix} 0 \\ 1\end{matrix}$$ \right)\;\text{y}\; x_4 = \left( $$\begin{matrix} 1 \\ 1\end{matrix}$$ \right) \end{align*> entonces tienes cuatro puntos en $\mathbb{R}^2$ que cumplen $\|x_i-x_j\|_\infty = 1$ para $i\neq j$.

Hay un ejemplo muy similar para $p=1. Creo que esto se debe a la geometría especial de las bolas en estas normas. Así que creo que hay tres casos

1. $p = 1
2. $p = \infty
3. $p \in (1,+\infty)

En el primer caso creo que la solución es $m\leq 2n$ en el segundo es $m\leq 2^n$ y en el tercero $m\leq n+1$. Desafortunadamente no pude probarlo tal vez alguien tenga un consejo.

Actualización

Descubrí que los casos $p=1$ y $p=\infty$ tienen soluciones diferentes como ya he editado. También puedo demostrar que mis suposiciones son límites inferiores para el máximo de puntos que pueden existir. Solo hay que considerar las esquinas de una bola $B_r(x)$ con radio $r=\frac{1}{2}$ en la norma deseada.

Answer 1

Definición : Utilizaremos la terminología establecida en la equidistancia $\{y_i\}_{i=1}^l$ si $$\| y_i-y_j\| =\|y_1-y_2\|$$ para todo $i\neq j$ y no podemos agregar más puntos. Aquí, si $l$ es el más grande, entonces lo llamamos máximo y si $l$ es el más pequeño, entonces usamos mínimo.

Pregunta : ¿Cuál es el tamaño $h_{n,p}$ del conjunto maximal en equidistancia en $$(\mathbb{R}^n,\|\ \|_p),\ 1\leq p\leq \infty\ ?$$ Y $l_{n,p}$ para el conjunto mínimo ?

EXE1 : i) $$ h_{2,p}=l_{2,p}=3,\ 1

$$l_{2,1}=l_{2,\infty}=3,\ h_{2,1}=h_{2,\infty }=4$$

ii) Además, $h_{n,\infty}=2^n$.

Definición : Un centro de los dominios de Voronoi es un punto $c$ si $$\| y_i-c\| =\| y_1-c\|$$

EXE2 : i) Si $\{y_i\}$ es un conjunto de equidistancia $2$, entonces los dominios de Voronoi contienen una bola unitaria.

ii) El dominio de Voronoi tiene un centro.

Prueba de ii) : Supongamos que $$\bigcap_{i=1}^k\ V_i \ni z,\ V_1\bigcap V_j=\emptyset,\ j>k$$

Si $c(t)=ty_1+(1-t)y_{k+1}$, entonces $$c|(\epsilon, \varepsilon )\subset \bigcup_{i=2}^k\ V_i$$

Dado que $V_i$ contiene una bola unitaria, $$2\leq \| y_{k+1} -c(\epsilon ) \| +\| c( \varepsilon )-y_1\| < \| y_1-y_{k+1} \|$$

EXE3 : Demuestra que $$l_{n,p}\geq n+1$$ para cualquier $1\leq p\leq \infty$

Prueba : Supongamos que $H$ es un hiperplano de dimensión $n-1$ para $\mathbb{R}^n$ y que dos puntos en $\{y_i\}_{i=1}^n$ en $H$ tienen una distancia de $2$. Entonces afirmamos que hay un $y_{n+1}\in \mathbb{R}^n$ tal que dos puntos en $\{y_i\}_{i=1}^{n+1}$ tienen una distancia de 2. Lo demostraremos por inducción.

Paso 1 : Definir $$F: H\rightarrow \mathbb{R}^n,\ F(x)=(\|x-y_1\|,\cdots,\|x-y_n\|)$$

Considerar el Teorema 19.1.3 en [1] : $$U =\{ y| y\succeq q,\ {\rm algún}\ q\in F(H)\}$$ donde $y\succeq q$ si $y_i\geq q_i,\ \forall i$.

Si $p,\ q\in U$, entonces existen $p',\ q'\in F(H)$ tal que $p\succeq p',\ q\succeq q'$. Así que $$tp+(1-t)q\succeq tp' +(1-t)q'$$

Luego $U$ es convexo y $\partial U$ es una hipersuperficie convexa.

Paso 2 : Por la definición de $F$, $F(H)$ es cerrado, por lo que $U$ es cerrado.

Paso 3 : Notar que hay un centro $x_0 \in H$ tal que $$\| x_0-y_i\|=\|x_0-y_1\|:=\varepsilon$$ para todo $i$.

Entonces $U$ contiene $$\{ t(\varepsilon,\cdots,\varepsilon)|t\geq 1\}$$

Si $c(T)=x_0 + T \frac{y_1-x_0}{\| y_1-x_0\|}$, entonces la desigualdad triangular implica $$T-\varepsilon\leq \| c(T)-y_i \| \leq T+\varepsilon$$ para todo $i$.

EXE4 : i) $l_{n,1} =n+1,\ n\geq 3$ : $e_i$ y $\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^n\ e_i$.

ii) $l_{n,\infty}=n+1$ :

$$x_0=(0,0,\cdots,0),\ x_1=(2,0,\cdots,0),\ x_2=(1,2,0,\cdots,0),$$ $$x_i=(1,\cdots,1,\underbrace{2}_{i-{\rm th\ coordinate}},0,\cdots ,0)$$

EXE5 : Si $\{y_i\}_{i=1}^{l}$ es un conjunto de equidistancia $2$ en $(\mathbb{R}^n,\|\ \|)$ y si ${\rm dim}\ {\rm conv}\ \{y_i\}=n$, entonces $y_i$ es un vértice en ${\rm conv}\ \{y_i\}$.

Prueba : Si $y_1$ es un punto \textit{interior} en ${\rm conv}\ \{y_i\}_{i=2}^l$, entonces definir $$f(x)=\sum_{i=2}^l \ \|x-y_i\|_2^2$$

Aquí $f(y_1)=4(l-1)$. Si $x$ es un punto de $[y_1y_2]$ con $\| x-y_1\|=\epsilon$, entonces la convexidad de la función de distancia implica $$\| y_i-x\|\leq 2$$ para $i>2$.

Es decir, $$f(x) \leq 4(l-2)+(2-\epsilon)^2 < f(y_1)$$ para un pequeño $\epsilon >0$. Podemos hacer lo mismo para la dirección $\overrightarrow{y_1y_i}$ para $i>2$.

Por lo tanto, $y_1$ es un máximo local estricto, ya que $f$ es convexa.

EXE6 : Fijar un conjunto de equidistancia $2\ \{y_i\}_{i=1}^l,\ l\geq n+2$ en $\mathbb{R}^n$.

Entonces hay $4\leq k\leq l$ tal que $$[y_1y_2] \subset {\rm int\ conv} \ \{ y_i\}_{i=1}^k ,\ {\rm dim\ conv} \ \{ y_i\}_{i=1}^k =k-1$$

Prueba : Lo demostraremos por inducción. Por lo tanto, por EXE5, podemos asumir que $$S:= \partial\ C,\ C:= {\rm conv}\ \{y_1,\cdots, y_{n+1} \}$$

Aquí ${\rm dim}\ C=n$ y $y_{n+2}$ no está en $C$.

Según $y_{ n+2}$, $S$ se divide en dos regiones, brillante y oscura (cf. Se utilizan conceptos similares en [2], [3]) : Si un segmento $[y_{n+2} x]$ para $x\in S$ no contiene un punto interior de $C$, entonces $x$ está en la región brillante.

Si la región brillante es exactamente una cara $n-1$ dimensional de $C$, entonces existe un vértice $y_i$ en el oscuro tal que $[y_{n+2}y_i]$ es deseado.

Si $f,\ g$ son caras de $n-1$ dimensiones de $C$ y ${\rm int}\ f,\ {\rm int}\ g$ intersectan la región brillante de modo que $f\bigcap g\neq \emptyset$, entonces la región brillante contiene un borde. Entonces hemos terminado.

EXE7 : Demuestra que $$ h_{n,p}\leq n+1,\ 1

Prueba : Por el ejercicio anterior, $[y_1y_2]$ penetra el $n-1$ dimensional ${\rm conv}\ \{y_i\}_{i=3}^{n+2}$.

Si $V_i$ es el dominio de Voronoi para $y_i$, entonces claramente $$[y_1y_{2}]\subset V_1\bigcup V_{2}$$

Si $c$ es un centro para $\{y_i\}_{i=1}^{n+2}$, entonces debe ser un punto medio de $[y_1y_{2}]$ para que $\| y_i-c\|=1$. Es una contradicción.

EXE8 : $h_{n,1}=2n$.

Prueba : Si $\{y_i\}_{i=1}^l,\ l\geq n+2$ es un conjunto de distancia 2 en $(\mathbb{R}^n,\|\ \|_1)$, entonces hay un punto $o$ tal que $\|y_i-o\|_1=1$ por una prueba del ejercicio anterior. Por lo tanto, completamos la prueba con algún argumento.

Referencia :

[1] S. Alexander, V. Kapovitch y A. Petrunin, Geometría de Alexandrov, 30 de julio de 2016.

[2] N. Lebedeva y A. Petrunin, Sobre la curvatura total de geodésicas minimizantes en superficies convexas, arXiv:1511.07911v2 [math.DG] 26 de junio de 2016

[3] M. Ghomi, Sombras y convexidad de superficies, Anales de Matemáticas, 155 (2002), 281--293