¿Cómo demostrar que dos medidas de probabilidad son iguales en el escenario descrito?

Question

Sea $(\mathbb{Z}^d, \mathbf{E}^d)$ un grafo con conjunto de vértices $\mathbb{Z}^d$ y conjunto de aristas $\mathbf{E}^d$, tal que $\mathbf{E}^d = \{(x, y) \in \mathbb{Z}^d \times \mathbb{Z}^d : \sum_{i = 1}^{d} |x_i - y_i| = 1\}$.

Sea $(\Omega, \mathcal{A}) un espacio medible, tal que$\Omega = \prod_{e \in \mathbf{E}^d}\{0, 1\}$y$\mathcal{A} = \sigma(\text{conjuntos cilíndricos})$, con una medida$\mu$ definida en él.

Sea $(\bar{\Omega}, \bar{\mathcal{A}}, \mathbb{P}_p)$ un espacio de medida, tal que $\bar{\Omega} = \prod_{x \in \mathbb{Z}^d}\{0, 1\}$, $\bar{\mathcal{A}} = \sigma(\text{conjuntos cilíndricos})$ y $\mathbb{P}_p$ es la Medida Producto de Bernoulli. En dicho espacio, sea $(\xi_x)_{x \in \mathbb{Z}^d}$ una secuencia de variables aleatorias i.i.d., tal que $\mathbb{P}_p(\xi_x = 1) = p$ y $\mathbb{P}_p(\xi_x = 0) = 1 - p$.

Para definir indirectamente a $\mu$, para un $k \in \mathbb{N}$ fijo, digamos que $\omega_e = 1$ (para algún $\omega \in \Omega$) si existe un $x \in \mathbb{Z}^d$ tal que $e \in \Lambda_k(x)$ y $\xi_x = 1$. Donde $\Lambda_k(x):= [-k, k]^d + (x_1, \cdots, x_d)$; es decir, $\Lambda_k(x)$ es una caja de lado $2k$ centrada en $x$.

¿Cómo se puede demostrar que $\mu(A) = \mathbb{P}_p(\bar{A})$ para cada evento $\bar{A} \in \bar{\mathcal{A}}$ que induce la ocurrencia de $A \in \mathcal{A}$?

Answer 1

Solo voy a escribir nuestra conclusión.

Por definición, si $X:(\Omega,P)\to \Psi$ es una aplicación medible de un espacio de medida en un espacio medible, definimos su medida de empuje por $$X^*P(A)=P(X^{-1}(A))$$ Parece que hemos concluido que estás en el escenario donde $(\Omega,P)=(\{0,1\}^{\mathbf{E}^d},\mathbb{P}_p)$ y $\Psi=\{0,1\}^{\mathbf{Z}^d}$ con sus respectivas $\sigma$-álgebras cilíndricas.

Luego, defines $X:\Omega\to \Psi$ por $$X(\omega)(x)=\max_{e\in \Lambda_k(x)} \omega(e)$$ y defines $\mu=X^*\mathbb{P}_p$, es decir, como la distribución de $X$. Definiendo $\overline{A}=X^{-1}(A),$ es decir, el conjunto de todas las configuraciones $\omega$ tal que $X(\omega)\in A$, ahora obtenemos por definición que $\mu(A)=\mathbb{P}_p(\overline{A})$.