Integral $\int_0^1 \frac{dx}{\prod_{n=1}^\infty (1+x^n)}$

Question

La siguiente integral apareció este verano en AoPS. Sin embargo, no recibió respuesta hasta hoy. $$I=\lim_{n\to \infty } \int_0^1\frac{dx}{(1+x)(1+x^2)\dots(1+x^n)}=\int_0^1 \frac{dx}{\prod_{n=1}^\infty (1+x^n)}$$ Recientemente he aprendido de aquí que: $$\frac{1}{\prod_{n=1}^\infty (1+x^n)}=\prod_{n=1}^\infty\left(1-x^{2n-1}\right)\Rightarrow I=\int_0^1\prod_{n=1}^\infty\left(1-x^{2n-1}\right)dx$$ Sospecho que esto tiene una forma cerrada ya que una integral similar al producto anterior apareció aquí en MSE antes; sin embargo, esta es un poco diferente ya que el producto solo incluye potencias impares y no veo cómo establecer una conexión entre las dos, así que apreciaré algo de ayuda con eso.

Answer 1

$\color{brown}{\textbf{Análisis de la producción.}}$

Consideremos la producción $$p(x)=\prod\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac1{1+x^n},\quad x\in(0,1).$$

Primero, $$\prod\limits_{k=0}^{\infty}(1-x^{2k+1})\cdot\prod\limits_{k=0}^{\infty}\log(1-x^{2k}) = \prod\limits_{k=0}^{\infty}\log(1-x^k),$$ entonces $$p(x)=\prod\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac1{1+x^n} = \prod\limits_{k=0}^{\infty}(1-x^{2k+1}),\quad x\in(0,1).\tag1$$

En segundo lugar, parece correcta la demostración $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\ln(1-x^{2k+1}) = -\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^{(2k+1)m}}{m} = -\sum\limits_{m=1}^{\infty}\dfrac{x^m}{m(1-x^{2m})}\\ = -\sum\limits_{m=1}^{\infty}\dfrac1{2m}\left(\dfrac1{1-x^m} + \dfrac1{1+x^m}\right) = -\dfrac12\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{x^{km}}{m}+\dfrac{(-x)^{km}}{m}\right),$$ $$\ln p(x)= \dfrac12\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\ln(1-x^k)+\ln(1+x^k)\right),$$ $$\ln p(x)= \dfrac13\sum\limits_{k=0}^{\infty}\ln(1-x^k),$$ $$p(x)=\sqrt[3]{\prod\limits_{k=0}^{\infty}(1-x^k)} = \sqrt[3]{(x;x)_\infty}, \tag{*}$$ donde $(x,x)_\infty$ es símbolo q-Pochhammer.

No obstante, la identidad $(*)$ $\color{red}{\textrm{es incorrecta}}$ (ver contraejemplo de Wolfram Alpha).

$\color{brown}{\textbf{Resultados.}}$

La identidad correcta es $$p(x)=\dfrac2{(-1;x)_\infty}\tag2$$ (ver también ejemplo de Wolfram Alpha).

No hay información detallada sobre los símbolos $q$-Pochhammer, por lo que se calcula numéricamente el valor de la integral, donde

$$\boxed{I=\int\limits_0^1 p(x)\,\mathrm dx \approx 0.428882.}$$