¿Cómo determinar si esta función es diferenciable en un punto?

Question

Dada la siguiente función:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x}{1+x} & x \geq 0 \\ x^2 & x < 0 \\ \end{array} \right.$$

Queríamos determinar si $f(x)$ es diferenciable en $0$. Ya sé que $f(x)$ es continua en $0$ usando la definición de continuidad. Si estoy en lo correcto, para mostrar diferenciabilidad debemos demostrar que el límite siguiente existe:

$f'(x)=\lim_{~h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Dado que $f(x) = \dfrac{x}{1+x}$ en $x=0$, ¿sería suficiente entonces decir que la derivada de $[\dfrac{x}{1+x}]' = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ está definida en $x=0$, y como también sabemos que $f(x)$ es continua en $0$, podemos concluir que $f(x)$ es diferenciable en $0$?

Answer 1

La derivada en $0$ se da por el límite

$$\begin{align} f'(0)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\\\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h} \end{align}$$

si este límite existe. Si $h>0$, entonces

$$\begin{align} f'(0)&=\lim_{h\to 0^+}\frac{\frac{h}{1+h}}{h}\\\\ &=1 \end{align}$$

Si $h<0$, entonces

$$\begin{align} f'(0)&=\lim_{h\to 0^-}\frac{h^2}{h}\\\\ &=0 \end{align}$$

Los límites del lado derecho y del lado izquierdo no son iguales. Por lo tanto, la derivada en $0$ no existe.

Answer 2

Si $f(x)$ es diferenciable, entonces las derivadas izquierda y derecha deben ser iguales en $x=0$. La derivada de $\dfrac{x}{1+x}$ en $x=0$ es $1$. La derivada de $x^2$ es $0$ en $x=0$. Por lo tanto, $f(x)$ no es diferenciable en $x=0

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