Mostrando concavidad de una función definida en términos de la expectativa de otra función

Question

Supongamos que $ U: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ es cóncava, y que la variable aleatoria $ \epsilon $ tiene media cero. Suponiendo que la función $ \phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, definida por $ \phi(\lambda) = \mathbb{E} U(\mu + \lambda \epsilon) $ es finita en todas partes, demuestra que $ \phi $ es cóncava.

He intentado varias cosas diferentes, incluida la desigualdad de Jensen, pero no puedo hacer que funcione. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

EDIT: Mostraré algo de mi trabajo

$ p \phi(\lambda_1) + (1-p)\phi(\lambda_2) = p \mathbb{E} U (\mu + \lambda_1 \epsilon) + (1-p) \mathbb{E} U(\mu + \lambda_2 \epsilon) $

$ \leq pU(\mathbb{E}(\mu+\lambda_1 \epsilon)) + (1-p)(U(\mathbb{E}(\mu + \lambda_2 \epsilon)) = pU(\mu) + (1-p)U(\mu) = U(\mu) $

La desigualdad proviene de Jensen y del hecho de que $ U $ es cóncava. Pero no estoy seguro de qué hacer a partir de aquí. ¿Estoy en lo correcto al pensar que $ U(\mu) = \phi(0) $?

Answer 1

$ p \phi(\lambda_1) + (1-p)\phi(\lambda)2) = p \mathbb{E}U(\mu + \lambda_1 \epsilon) + (1-p) \mathbb{E}U(\mu + \lambda_2 \epsilon) $

$ = \mathbb{E}[ pU(\mu + \lambda_1 \epsilon) + (1-p)U(\mu + \lambda_2 \epsilon)] $, por linealidad de la esperanza.

Por concavidad de $U$, tenemos que

$ pU(\mu + \lambda_1 \epsilon) + (1-p)U(\mu + \lambda_2 \epsilon) \leq U [ p(\mu + \lambda_1 \epsilon) + (1-p)(\mu + \lambda_2 \epsilon) ] = U [ \mu + p\lambda_1 \epsilon + (1-p) \lambda_2 \epsilon]$

Ahora, $ X \leq Y \implies \mathbb{E}[X] \leq \mathbb{E}[Y] $ nos da que

$ \mathbb{E}[ pU(\mu + \lambda_1 \epsilon) + (1-p)U(\mu + \lambda_2 \epsilon)] \leq \mathbb{E}U [ \mu + p\lambda_1 \epsilon + (1-p) \lambda_2 \epsilon] = \phi(p\lambda_1 + (1-p)\lambda_2) $