Encuentra todos los valores de $x$ donde $f(x)$ es un cuadrado perfecto

Question

¿Existe una fórmula, método o manera de encontrar todos los valores positivos de $x$ enteros (si existen) tales que $f(x)$ sea un cuadrado perfecto donde $f(x)$ es una ecuación cuadrática?

Por ejemplo, si tengo la siguiente función:
\begin{align*} f(x)= 4x^2+84x-15 \end{align*> Entonces necesito todos los valores de x enteros que hacen que $f(x)$ sea cuadrado perfecto.

Sé que para esta ecuación $x \in \{2,10,19,47\}$ pero lo supe adivinando, quiero decir que escribí un programa en java y recorrí todos los valores de x de 1 a 1000 y obtuve este conjunto de valores de x que me dan un cuadrado perfecto, no estoy seguro si debo continuar y cuál es el límite para hacer esta adivinanza. Pero no estoy interesado en ese método.

Estoy interesado en una generalización de este problema (si es posible) donde necesito saber todos los valores de x que hacen que $f(x)$ sea cuadrado donde:

\begin{align*} f(x) = ax^2+bx+c \tag{1} \end{align*}

donde \begin{align} a,b,c \in \mathbb Z \end{align}

Actualización 1

He encontrado una forma a partir de las ecuaciones derivadas de mi investigación donde puedo encontrar \begin{align*} x_i \, | \ \sqrt{f(x_i)}\in \mathbb Z \end{align*> \begin{align*}> where\ i=1,2\ y\ x_1 > x_2 \end{align*> La pregunta ahora es, ¿hay alguna forma de usar $x_1,x_2$ para encontrar cualquier otro $x_i$ (si existe) \begin{align*}> where \quad i>2 \ \ y\ \ 0 < x_i < x_2 \end{align*>

Para el ejemplo mencionado, sé que la ecuación tiene $x_1 = 47$ y $x_2 = 19$, ¿hay alguna forma de encontrar $ 0 < x_3 < 19 $ si $x_3$ existe a partir de los conocidos $x_1$ y $x_2$?

Actualización 2

Después de leer la nota de @ColmBhandal, estoy intentando en esta actualización transformar la ecuación original en otra ecuación. Resolver la nueva ecuación resolverá la ecuación anterior.

Dado que $a$ en mi caso siempre es un cuadrado, entonces para obtener $x$ donde $f(x)$ es un cuadrado perfecto necesitamos resolver lo siguiente: \begin{align*}> bx+c=2nsx+n^2\ where\ s=\sqrt{a},\ n >= 1, n\in\mathbb Z \end{align*> Por lo tanto \begin{align*}> x=g(n)=\frac{n^2-c}{b-2sn}\tag{2} \end{align*> Ahora esto es una ecuación diofántica en la siguiente forma (asigna $x=Y$ y $n=X$): \begin{align*> X^2-bY+2sXY-c=0\tag{3} Ahora necesitamos encontrar $n$|$n>1\ y\ n\in\mathbb Z$ que haga que $g(n)\in\mathbb Z$.

Vamos a notar lo siguiente:

1. $n$ tiene el valor mínimo cuando $numerador = denominador$ (esto ocurre para obtener $n=1$) lo cual es \begin{align*> n^2-c = b-2sn \begin{align*> n^2+2sn-b-c = 0\implies\ n>= \Bigg\lceil {\frac{-(2s)+\sqrt{(2s)^2-(4(-b-c))}}{2}}\ \Bigg\rceil \end{align*>
2. $n$ tiene un valor máximo cuando el $denominador=0$ lo cual es \begin{align*> b-2sn=0\implies n < \frac{b}{2s} \end{align*>
3. Podemos obtener los dos primeros valores más grandes de $n$ porque conocemos $x_1$ y $x_2$.

Por lo tanto para el ejemplo mencionado dado que $a=4$ entonces $s=2$ lo cual permite que $x=g(n)$ sea \begin{align*}> g(n)=\frac{n^2+15}{84-4n}\quad where\ n\in\mathbb Z, 7<=n<21 \end{align*> También sabemos que $n_1=19\ y\ n_2=17$ porque $x_1=47\ y\ x_2=19$ así que en realidad estamos buscando un $n$ (si existe) \begin{align*> 7<= n < 17\ |\ n\in\mathbb Z

Así que ahora necesitamos las soluciones enteras para esta ecuación. Espero que esta ecuación ahora pueda ser resuelta, creo que es una ecuación diofántica y necesitamos soluciones enteras para ella porque la ecuación se ve así: \begin{align*> x^2-84y+4xy+15=0

Actualización 3

Después de leer este artículo, encontré (en la página 6) que la ecuación (3) podría transformarse en \begin{align*> (bx + e)(by + d) = ed bf Luego escribiendo $ed bf = N$ y si $N$ no es cero (que es nuestro caso) entonces podemos factorizar N para obtener todas las soluciones enteras.
Desafortunadamente, esto significa que mi nueva Ecuation Diofántica número (3) debería resolverse mediante factorización.
Mi pregunta ahora es ¿es esta la única forma de resolver tales ecuaciones? ¿Hay alguna manera de resolver la ecuación (1) o (3) sin completar el cuadrado o factorizando un número para obtener soluciones?

Notas:

• El método de completar el cuadrado y resolver la ecuación de Pell necesita al final del día hacer factorización y porque en mi caso los coeficientes podrían ser números de 40-50 dígitos, la factorización no podría ser una solución. Estoy buscando una generalización para el problema y escribir un programa de computadora para resolver tales ecuaciones con coeficientes muy grandes.
• Entonces cualquier método que necesite factorización o iterar linealmente para encontrar las soluciones no es útil.
• Realmente no sé qué etiquetas debo dar para esta pregunta así que por favor corrige mis etiquetas si me he perdido o error en algo. Gracias.

Answer 1

Prueba estos monstruos:

$x_{n_1}=\frac{1}{2a}\left[\frac{\gamma_0 \sqrt{P^2-1}+Q\beta_0}{2\sqrt{P^2-1}}\cdot \left(P+\sqrt{P^2-1}\right)^n+ \frac{\gamma_0 \sqrt{P^2-1}-Q\beta_0}{2\sqrt{P^2-1}}\cdot \left(P-\sqrt{P^2-1}\right)^n-b\right]$

y

$x_{n_2}=\frac{1}{2a}\left[\frac{\gamma_0 \sqrt{P^2-1}-Q\beta_0}{2\sqrt{P^2-1}}\cdot \left(P+\sqrt{P^2-1}\right)^n+ \frac{\gamma_0 \sqrt{P^2-1}+Q\beta_0}{2\sqrt{P^2-1}}\cdot \left(P-\sqrt{P^2-1}\right)^n-b\right]$

6 notas:

1. $(a,b,c)$ de $f(x)=ax^2+bx+c$
2. utiliza $(P,Q)$ mínimos de manera que $P^2-aQ^2=1$
3. utiliza $(\gamma_0,\beta_0)$ mínimos de manera que $a\gamma_0^2-\beta_0^2=a(b^2-4ac)$
4. para $a$ no cuadrado, cuando $a$ es un cuadrado es análogo a la explicación a continuación
5. El razonamiento para $x_{n_1}$ y $x_{n_2}$ es que algunas soluciones a $ \ a\gamma^2-\beta^2=a(b^2-4ac) \ $ tienen dos hilos separados.
6. Al usar esto como está escrito, puede ser que necesites tomar cada $ \ n=2m \ $ o $ \ n=2m-1 \ $ o múltiplos $n=km$ para cumplir con la restricción $\gamma-b \equiv 0 \pmod {2a}$ (haciendo referencia a cómo $ \ 2a \cdot x + b = \gamma \ $ a continuación)

La derivación anterior llega a la ecuación de Pell: $$\begin{align} ax^2 + bx + c &= f(x)=\alpha^2 \\ a(x+b/2a)^2-\frac{b^2-4ac}{4a} &=\alpha^2 \\ a(2ax+b)^2-a(b^2-4ac)&=4a^2\alpha^2=\beta^2 \\ a\gamma^2-\beta^2&=a(b^2-4ac) \end{align}$$ Y resolviendo usando técnicas estándar. Por lo tanto $$x_n=\frac{\gamma_n-b}{2a}$$ tal que $\gamma_n$ es la n-ésima solución en la ecuación tipo pell anterior: $a\gamma^2-\beta^2=a(b^2-4ac)$

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Una explicación de por qué en tu primer problema $(2,10,19,47)$ son las únicas respuestas es la siguiente:

El problema en la parte superior tiene $(a,b,c)=(4,84,-15)$. Dado que $a$ es un cuadrado, esa ecuación de Pell se convierte en la diferencia de dos cuadrados.

$$ \begin{align} 4\gamma^2-\beta^2&=29184 \\ (2\gamma)^2-\beta^2&=29184=2^9\cdot3\cdot19 \end{align}$$

Usando esta identidad: $$\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)^2-\left(\frac{d_1-d_2}{2}\right)^2=d_1\cdot d_2$$

Sea $d_1, d_2$ dos divisores (de la misma paridad) de $29184$. Puedes ver aquí que dado que solo puede haber un número limitado de divisores de $29184$, aún más limitado que tengan la misma paridad, ya sabes en este momento que habrá un número limitado de soluciones.

Sea $2\gamma=\frac{d_1+d_2}{2}$, por lo tanto $\gamma=\frac{d_1+d_2}{4}$, y finalmente poniendo esto de vuelta en nuestro $x$, y dejando $b=84$ y $a=4$, llegamos a

$$x=\frac{\left(\frac{d_1+d_2}{4}\right)-84}{8}$$ o $$x=\frac{d_1+d_2-336}{32}=\frac{d_1+d_2}{32}-\frac{21}{2}$$

Ahora observamos que ambos factores deben sumar algo directamente proporcional a 16:

$$d_1+d_2=16\cdot k$$

para que la fracción $21/2$ se convierta en un número entero al sumarse. Esto implica que tanto $d_1$ como $d_2$ necesitan tener un factor de al menos $2^4$. Los únicos conjuntos de dos factores que provienen de $2^9\cdot3\cdot19$ y cumplen con este requisito son:

$$\begin{align} (d_1,d_2) &\to x(d_1,d_2) &&\to x=\frac{d_1+d_2}{32}-\frac{21}{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ (3\cdot 19 \cdot 2^4, 2^5) &\to x(912,32) &&\to x=19 \\ (3\cdot 19 \cdot 2^5, 2^4) &\to x(1824,16) &&\to x=47 \\ (3\cdot 2^4,19 \cdot 2^5) &\to x(48,608) &&\to x=10 \\ (3\cdot 2^5,19 \cdot 2^4) &\to x(96,304) &&\to x=2 \\ \end{align}$$