Ecuaciones inconsistentes

Question

$u+v+w=2$(1)

$2u+3w=5$(2)

$3u+v+4w=6$(3)

En tales ecuaciones no tenemos ninguna solución, porque al sumar la primera y la segunda ecuación obtenemos $1=0$. Se les llama inconsistentes. Desde la geometría puedo decir que tres planos que no son paralelos tienen que intersectarse en un punto. ¿Qué está causando esto?

Answer 1

Sea $$A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}$$ y $$y = [ 2, \ 5, \ 6]^T$$ Tu problema es encontrar $x$, donde $Ax= y$, pero $A^{-1}$ no existe ya que la rango$(A) = 2$. Geométricamente, el hecho de que $A^{-1}$ no exista, significa que los tres vectores dados en las columnas (o filas) viven en un espacio 2D. No obtienes solución (en lugar de infinitas soluciones) cuando además, $y$ no está en el espacio 2D generado por las columnas de $A$.

Answer 2

Aquí hay una imagen de los tres planos descritos por tus ecuaciones.

Como puedes ver, las tres líneas formadas por los planos 1-2, 1-3 y 2-3 no se intersectan en un solo punto.

Aquí puedes interactuar con una versión dinámica de la imagen.