Esta no es una respuesta, pero es demasiado larga para un comentario.
La parte más interesante es la ubicación de la raíz, así que voy a aclarar mi comentario sobre la expansión de la serie.
La ecuación para la raíz puede transformarse para tener la forma:
$$x=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{1+x}$$
Considera la función:
$$f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{1+x}$$
Cambiemos la variable $1/x \to y$, y expandamos la función resultante alrededor de $y \to 0$ hasta términos de tercer orden:
$$\left(1+y \right)^{1+\frac{1}{y}}=(1+y)\exp \left( \frac{1}{y} \ln (1+y)\right)=(1+y)\exp \left( 1-\frac{y}{2}+\frac{y^2}{3}-\frac{y^3}{4}+\dots\right) =$$
$$= e(1+y) \left(1+\left(-\frac{y}{2}+\frac{y^2}{3}-\frac{y^3}{4} \right)+\frac{1}{2} \left(-\frac{y}{2}+\frac{y^2}{3} \right)^2+\frac{1}{6} \left(-\frac{y}{2} \right)^3 \right)+O(y^4)=$$
$$=e \left(1+\frac{y}{2}-\frac{y^2}{24}+\frac{y^3}{48}\right)+O(y^4)$$
Entonces finalmente tenemos una aproximación:
$$x \approx e \left(1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{24x^2}+\frac{1}{48x^3}\right)$$
Sustituyendo $\pi$ en el lado derecho obtenemos:
$$x \approx e \left(1+\frac{1}{2\pi}-\frac{1}{24\pi^2}+\frac{1}{48\pi^3}\right)=3.14126\dots$$
No veo ninguna razón más profunda por la cual $\pi$ sea una buena aproximación para la raíz de esta función. Parece ser una coincidencia.
No debería haber nada sorprendente sobre el máximo, porque esta función está estrechamente relacionada con $e$.
Pero resulta ser complicado. Encontremos la primera derivada de la función:
$$g(x)=(1+x)^{1+x}-x^{2+x}=e^{(1+x)\ln(1+x)}-e^{(2+x)\ln(x)}$$
$$g(x)'=(1+\ln(1+x))e^{(1+x)\ln(1+x)}-\left(1+\frac{2}{x}+\ln(x) \right) e^{(2+x)\ln(x)}$$
La ecuación para el extremo es:
$$g(x)'=0$$
Que puede transformarse a:
$$\left(1+\frac{1}{x} \right)^{1+x}=\frac{2+x(1+\ln x)}{1+\ln(1+x)}$$
Si sustituimos $e$ en el lado derecho, obtenemos:
$$\frac{2+x(1+\ln x)}{1+\ln(1+x)}=\frac{2(1+e)}{1+\ln(1+e)}=3.215\dots$$
En el lado izquierdo obtenemos (nota que para cualquier $x$ sabemos que $\left(1+\frac{1}{x} \right)^{1+x}>e$):
$$\left(1+\frac{1}{x} \right)^{1+x}=\left(1+\frac{1}{e} \right)^{1+e}=3.205\dots$$
Nuevamente, no estoy seguro de si podemos sacar conclusiones del hecho de que la solución está cerca de $e$.
Pero espero que estos cálculos ayuden al OP a comprender mejor esta función.
