Homomorfismo $\phi: G \rightarrow H$, $\phi$ sobreyectiva, $\exists a \in H : |a| = 5$, demostrar $\exists x \in G : |x| = 5$

Question

Homomorfismo $\phi: G \rightarrow H$, $\phi$ sobreyectivo, $\exists a \in H : |a| = 5$, muestra $\exists x \in G : |x| = 5$, donde $|G|$ es finito.

No estoy seguro si esta demostración es correcta, pero esto es lo que tengo hasta ahora:

Por el Primer Teorema de Isomorfismo: $G/\ker\phi$ es isomorfo a $\phi(G)$.
Sabemos que $\phi(e_G) = e_H$, entonces $e_G \in \ker\phi$.
Eso significa que $\exists ge_G \in G/\ker\phi$ con una biyección que mapea al elemento de orden $5$ en $H$, por lo que significa que $|ge_G| = 5 = |g|$ para algunos $g \in G$.

Nota que no utilicé el hecho de que $\phi$ es sobreyectivo, lo que significa que probablemente haya algo incorrecto en la demostración.

Answer 1

No es cierto que $ge_G\in G/\ker\phi$ porque los elementos de $G/\ker\phi$ son los cocientes del subgrupo $\ker\phi$ en $G$. Por lo tanto, por ejemplo $g+\ker\phi\in G/\ker\phi$.

También ten en cuenta que sí utilizaste el hecho de que $\phi$ es sobreyectiva, cuando tomas un elemento de $G/\ker\phi$ que se mapea al elemento de orden $5$ en $H$; dicho elemento existe porque $\phi$ es sobreyectiva.

Pero en vez de mirar el cociente, considera la preimagen del elemento $a\in H$ con $|a|=5$. ¿Qué puedes decir sobre su orden?