Prueba si la secuencia dada de función es convergencia uniforme en $(0,\infty)$

Question

Compruebe la convergencia uniforme de la secuencia de funciones $f_n(x)=n\ln \left(\frac{1+nx}{nx}\right)$ en $(0,\infty)$.

He encontrado que el límite puntual de la secuencia de funciones es $f(x)=\frac 1x$. Estoy atascado/a probando la convergencia uniforme. No puedo encontrar $\displaystyle M_n=\sup_{x\in (0,\infty)}\left|n\ln \left(\frac{1+nx}{nx}\right)-\frac 1x\right|$.

¿Alguna pista, por favor?

Answer 1

La convergencia no es uniforme en ningún intervalo de la forma $(0,a)$. Tenga en cuenta que

$$n\ln \left(\frac{1+nx}{nx}\right)-\frac 1x = n\ln \left(\frac{1+nx}{nx}\right)-n\ln e^{\frac{1}{nx}} = n\ln \left(\frac{1+nx}{nxe^{\frac{1}{nx}} }\right),$$

y con $x = 1/n \in (0,1)$,

$$\sup_{x\in (0,\infty)}\left|n\ln \left(\frac{1+nx}{nx}\right)-\frac 1x\right| \geqslant \left|n\ln \left(\frac{1+n\cdot \frac{1}{n}}{n\cdot \frac{1}{n}\cdot e^{\frac{1}{n\cdot \frac{1}{n}}} }\right)\right|= n \ln \frac{e}{2} \underset{n \to \infty}\longrightarrow \infty$$