En la construcción del manto de Whitehead, una 3-manto, abierto no compacto y contractible pero no homeomórfico a $\mathbb R^3$, Whitehead utilizó un conjunto de toros anidados. Puedo entender la construcción de esta manera, pero ¿cómo ver que el conjunto límite es un conjunto de Cantor? ¿Cuál es el homeomorfismo del conjunto límite al conjunto de Cantor estándar? ¿Y cuál es la dimensión de Hausdorff de este conjunto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Post No Bulls
Puntos
4750
Como otros han dicho, el continuo de Whitehead $W$ es un continuo: un conjunto compacto conectado. (Relevante: ¿Intersección arbitraria de subconjuntos cerrados y conectados de un espacio compacto es conectada?) Por lo tanto, no es homeomorfo a un conjunto de Cantor.
Dicho esto, la semejanza visual de $W$ con el conjunto de Cantor $C$ puede hacerse precisa: vea la publicación en el blog Sobre variedades de tipo Whitehead por Conan Wu, donde $W$ se ensambla a partir de dos copias de $C\times [0,1]$.
¿Cuál es la dimensión de Hausdorff de este conjunto?
Para hacer esta pregunta, primero debes darle al conjunto una métrica. No hay una métrica canónica en $W$; si se considera como subconjunto de $\mathbb R^3$, seguramente tendrá la métrica inducida, pero la formación de este subconjunto está sujeta a elecciones arbitrarias (¿cuán gruesos son los toros? ¿cómo están posicionados? ¿cómo es exactamente la forma de unión?). Si seguimos la construcción de Wu utilizando el conjunto de Cantor estándar $1/3$, el conjunto resultante tiene dimensión de Hausdorff $1+\log 2/\log 3$, que es la dimensión de Hausdorff de $C\times [0,1]$. Pero $C$ también podría ser otro conjunto de tipo Cantor, con una dimensión en cualquier lugar entre $0$ y $1.
Otra razón por la cual la dimensión de Hausdorff de un espacio topológico no es un concepto bien definido: si $d$ es una métrica en $X$, entonces también lo es $\sqrt{d}$, y la dimensión de Hausdorff de $(X,\sqrt{d})$ es el doble de la dimensión de Hausdorff de $(X,d)$.
La dimensión topológica de $W$ es $1$, igual que para $C\times [0,1]$ y por la misma razón: hay una base en la que los límites de los elementos de la base están totalmente desconectados.
Florian Brucker
Puntos
116
Vi al menos dos construcciones de este toro de Whitehead.
Voy a acortar toro sólido a toro.
Una presentada en las notas del curso de Gabai, donde se define como la unión creciente de toros $T_n$, con $T_n$ contenido en $T_{n+1}$, cada uno inmerso en el siguiente de la misma manera enredada.
La que está en la página de Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_manifold (hasta ahora) es el complemento en la 3-esfera $S^3$ de la intersección $K$ de un nido decreciente de toros con $T_{n+1}$ contenido en $T_n$ de la misma forma enredada que arriba (pero note que $n+1$ y $n$ han sido permutados).
Las dos construcciones dan variedades difeomórficas.
De hecho, recordemos que el complemento de un toro en $S^3$ es un toro. Pasando a los complementos en $S^3$ en el primer paso $n=1$ en la primera construcción da como resultado dos toros como en el primer paso $n=1$ de la segunda construcción. Lo mismo ocurre en los otros pasos.
Mi opinión es que Sun estaba hablando de $K$.
Hay mucha flexibilidad en la construcción, por lo que aunque el conjunto $K$ tiene que ser conexo (y por lo tanto no puede ser un conjunto de Cantor a diferencia, por ejemplo, del Collar de Antoine), puede o no tener interior vacío dependiendo de las elecciones, su dimensión fractal podría ser cualquier número $\geq 1$. Se puede disponer para que en la mayoría de los lugares (¿probablemente no todos?) $K$ sea localmente un Cantor multiplicado por un intervalo. Un enfoque interesante es intentar hacerlo con un IFS.
