Recuerde que un grupo $G$ es Hopfiano si todo epimorfismo $f: G \longrightarrow G$ es un automorfismo (equivalentemente, $N=1$ es el único subgrupo normal para el cual $G/N \cong G$).
¿Es un grupo libre de rango finito Hopfiano?
Gracias de antemano.
Respuesta
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Se puede demostrar directamente que el grupo libre $F_n$ de rango finito $n$ es Hopfiano usando la teoría de transformaciones de Nielsen. Cualquier subconjunto $S$ de $F_n$ puede ser transformado en un conjunto de generadores libres de $\langle S \rangle$ aplicando una sucesión de estas transformaciones. Un tipo de transformación es eliminar un elemento de $S$ que es igual al elemento identidad. Los demás transforman un conjunto de generadores libres de $S$ en otro.
Supongamos que $F_n$ está libremente generado por $a_1, \ldots, a_n$ y $\phi:F_n \to F_n$ es un epimorfismo con $\phi(a_i) = b_i$. Ahora apliquemos transformaciones de Nielsen a $\{b_1, \ldots, b_n\}$, que según la suposición generan $F_n$. Es fácil ver que $F_n$ no puede ser generado por menos de $n$ elementos, por lo que ninguna de las transformaciones aplicadas puede eliminar un elemento. Esto significa que $\{b_1, \ldots, b_n\}$ ya era un conjunto de generadores libres de $F_n$, por lo que $\phi$ tiene un núcleo trivial, y por lo tanto $F_n$ es Hopfiano.
