Tengo la siguiente pregunta. En el libro de Ecuaciones Diferenciales Parciales de Evan se afirma (página 345, sección 6.61) que si tomamos el operador diferencial: $$ Lu=-\Delta u +cu $$ entonces existe un $\mu>0$ tal que para todo $c\ge -\mu$ el operador satisface los requisitos para el teorema de Lax-Milgram y por lo tanto existe una solución única al problema de valor de frontera asociado. Mi problema es que para $c<0$ y algún dominio como $(-1,1)$ siempre podemos encontrar un autovector de ese operador y por lo tanto no existe una solución, por la alternativa de Fredholm. ¿Qué estoy haciendo mal aquí? Estas dos afirmaciones se contradicen entre sí...
Respuesta
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Usando la desigualdad de Poincaré, tenemos $$(Lu,u)=|u|^2_{H^1}-\mu\|u\|_{2}^2\ge (1-C\mu)|u|_{H^1}^2,$$ así que siempre y cuando $C\mu<1$, el operador es coercitivo. Esta coercitividad (así como acotamiento, etc.) nos dice que existe una solución única, siempre y cuando se cumpla la suposición, la alternativa de Fredholm no se cumple. Si no restringes $\mu$ puedes encontrar un ejemplo donde la alternativa de Fredholm se cumple.
