¿Se considera el espacio cociente de $\mathbf{CP}^2$ obtenido al colapsar una línea (un $\mathbf{CP}^1$) en un punto? ¿Es este un espacio analítico complejo (de manera natural)?
Respuesta
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La respuesta es no, debido al siguiente resultado general.
Teorema (Criterio de contractibilidad de Grauert). Sea $X$ una superficie compleja suave y sea $E \subset X$ una curva conectada en $X$, con componentes irreducibles $E_i$. Entonces existe una contracción analítica $$\pi \colon X \to Y$$ de $E$ a un punto $p \in Y$, donde $Y$ es una superficie compleja (posiblemente singular), si y solo si la matriz de intersección $(E_i \cdot E_j)$ es negativa definida.
Si $E \subset \mathbb{CP}^2$ es una recta, entonces $E^2=1$ y por lo tanto $E$ no puede ser contraída analíticamente a un punto.
Para una referencia, ver [K. Matsuki, Introducción al programa de Mori, Teorema 4-6-25 p.234].
