Kaprekar descubrió la constante de Kaprekar o 6174 en 1949 . Demostró que 6174 se alcanza en el límite al restar repetidamente los números más altos y más bajos que se pueden construir a partir de un conjunto de cuatro dígitos que no son todos idénticos.
Por ejemplo, a partir de 1234 tenemos 43211234 = 3087 entonces 87300378 = 8352 y 85322358 = 6174 .
Pero, ¿Por qué llegamos a 6174 a través de este proceso? Creo que la resta siempre es divisible por 3 ....(no estoy seguro)
¿Tienes a mano alguna prueba de estas afirmaciones (unicidad del punto fijo, ausencia de ciclos)?
Me he perdido el enlace a oeis.org/A099009 publicado más arriba. Sin embargo, mis preguntas siguen sin respuesta. Además, hay puntos fijos no triviales, sólo que ninguno de ellos es lo suficientemente pequeño como para importar.
Después de una resta tendrás un número divisible por 9 porque el resto de la división por 9 no se modifica al reordenar los dígitos. Esto no es un problema ya que 6174 es divisible por 9 . La afirmación de que siempre alcanzamos 6174 descansa en (lo mejor que sé) una búsqueda de las posibilidades. Si sólo se miran los múltiplos de 9 sólo hay 1000 para mirar, que no son tantos ni siquiera a mano. Sólo hay que mirar una permutación de cada conjunto de dígitos, lo que reduce considerablemente la búsqueda. Puede haber otras formas de limitar la búsqueda.
Que 6174 es el único punto fijo interesante se puede demostrar sin "cálculos numéricos" salvajes y/o concretos, Véase esta respuesta reciente a una pregunta más antigua y paralela. Estaría bien conocer su opinión al respecto.
Usted pregunta: "Pero, ¿por qué llegamos a 6174 a través de este proceso?"
PORQUE:
La constante 6174 de Kaprekar puede ser considerada como una forma disfrazada de la razón de plata (es decir, el recíproca de la proporción áurea).
Justificación:
Hay 9990 números de 4 dígitos que tienen al menos 2 dígitos distintos. La ubicación de Kaprekar's entre ellos es, con 4 cifras decimales, la plata la proporción de plata en profundidad entre ellos, siendo la proporción de plata el recíproca de la proporción áurea (que no debe confundirse con la media de plata, también conocida como la proporción de plata).
Es decir, 6174/9990 es, con 4 decimales, 0,6180.
Así, cada número de 4 dígitos, al el comienzo del proceso Kaprekar grita "¡Hi-Yo Silver!"
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Lo que ocurre con números como 1792 ? Aquí tenemos 9721−1279=8442... y el final llega abruptamente al obtener un número con dos dígitos iguales?
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@DonAntonio: Si sigues con tu ejemplo, al final sí que llegas a 6174.
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Señor, si continuamos este proceso, entonces obtendremos 1782, que no tiene dígitos en común.
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@ram: ¿Has estudiado primero los casos de 2 y 3 dígitos? Para 2 dígitos, se puede obtener un comportamiento cíclico sin punto fijo. (Por ejemplo 01→09→81→63→27→45→09→… )
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@MichaelJoyce, lo sé: Ya hice los cálculos, pero el OP menciona el número con 4 diferentes dígitos...
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No 4 diferentes, pero 4 no todos idénticos, ya que como se ve a partir de nnnn pasa inmediatamente a 0000 . Hay constantes únicas de Kaprekar en 3 y 4 dígitos, pero "constantes" cíclicas en otras longitudes-no sé si está demostrado que ninguna longitud mayor tiene un único punto fijo, o resultados para otras bases, pero no creo que haya ningún hecho general que responda al "por qué" del OP.
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@DonAntonio Cuando el OP dice "4 dígitos que no son todos idénticos", creo que quiere decir 4 dígitos que no son todos el mismo dígito.
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Ah, sabemos que sólo hay un número finito de constantes de Kaprekar en cualquier base (longitudes de dígitos que dan un punto fijo único bajo este procedimiento) y que 495 y 6174 son las únicas en base 10. emis.ams.org/journals/HOA/IJMMS/2005/182999.pdf
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Con 1112 se pasa a [0]999 que tiene una suma de dígitos de 27 (análogamente 1113 a 1998 ...)
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Ver también oeis.org/A099009 y referencias allí.
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Hay muchos más detalles disponibles en math.stackexchange.com/questions/495399/