Número misterioso $6174$

Question

Kaprekar descubrió la constante de Kaprekar o $6174$ en $1949$ . Demostró que $6174$ se alcanza en el límite al restar repetidamente los números más altos y más bajos que se pueden construir a partir de un conjunto de cuatro dígitos que no son todos idénticos.

Por ejemplo, a partir de $1234$ tenemos $4321 1234$ = $3087$ entonces $8730 0378$ = $8352$ y $8532 2358$ = $6174$ .

Pero, ¿Por qué llegamos a $6174$ a través de este proceso? Creo que la resta siempre es divisible por $3$ ....(no estoy seguro)

Answer 1

$6174$ es un punto fijo de este proceso, es decir $7641 - 1467 = 6174$ . Resulta que es el único punto fijo, y no hay ciclos no triviales.

La suma de dígitos de la diferencia también podría ser $27$ Por ejemplo, para $6555-5556$ .

Answer 2

Después de una resta tendrás un número divisible por $9$ porque el resto de la división por $9$ no se modifica al reordenar los dígitos. Esto no es un problema ya que $6174$ es divisible por $9$ . La afirmación de que siempre alcanzamos $6174$ descansa en (lo mejor que sé) una búsqueda de las posibilidades. Si sólo se miran los múltiplos de $9$ sólo hay $1000$ para mirar, que no son tantos ni siquiera a mano. Sólo hay que mirar una permutación de cada conjunto de dígitos, lo que reduce considerablemente la búsqueda. Puede haber otras formas de limitar la búsqueda.

Answer 3

Al considerar sólo números de 4 dígitos, este problema puede ampliarse a cualquier base y al hacerlo puede reducirse a un sistema de 14 ecuaciones. 6174 es la única solución en base 10.

Otras soluciones de longitud 4 son: $$0111_2, 1001_2,3021_4, \qquad 3032_5, 6174_{10}, 92b6_{15}, c3f8_{20},\dots $$

Answer 4

Usted pregunta: "Pero, ¿por qué llegamos a 6174 a través de este proceso?"

PORQUE:

La constante 6174 de Kaprekar puede ser considerada como una forma disfrazada de la razón de plata (es decir, el recíproca de la proporción áurea).

Justificación:

Hay 9990 números de 4 dígitos que tienen al menos 2 dígitos distintos. La ubicación de Kaprekar's entre ellos es, con 4 cifras decimales, la plata la proporción de plata en profundidad entre ellos, siendo la proporción de plata el recíproca de la proporción áurea (que no debe confundirse con la media de plata, también conocida como la proporción de plata).

Es decir, 6174/9990 es, con 4 decimales, 0,6180.

Así, cada número de 4 dígitos, al el comienzo del proceso Kaprekar grita "¡Hi-Yo Silver!"