Cómo puedo calcular $\int^{b}_{a}\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\phi(x)\,\mathrm dx$

Question

Supongamos que $\phi(\cdot)$ y $\Phi(\cdot)$ son la función de densidad y la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar. $a son números reales finitos.

¿Cómo puedo calcular la integral:

$$\int^{b}_{a}\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\phi(x)\,\mathrm dx$$

Tenga en cuenta que la pregunta es similar a esta. Allí, los comentarios a la respuesta aceptada sugieren que la solución se puede generalizar a integrales definidas, pero no he podido resolverlo.

Answer 1

Respuesta parcial. Si tengo algo de tiempo, trabajaré en ajustar el resultado.

En la otra (no aceptada) respuesta a la pregunta citada por el autor, se muestra que si $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ y $Y\sim N(0,1)$ son variables aleatorias normales independientes, entonces \begin{align} P\{X \leq Y \mid Y = w\} &= P\{X \leq w \mid Y = w\}\\ &= \int_{-\infty}^w f_{X\mid Y}(t\mid Y=w) \,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^w f_{X}(t) \,\mathrm dt &\scriptstyle{\text{since $X$ and $Y$ are independent}}\\ &= \Phi\left(\frac{w-\mu}{\sigma}\right). \end{align} Consecuentemente, \begin{align} \int_a^b \Phi\left(\frac{w-\mu}{\sigma}\right)\phi(w) \,\mathrm dw &= \int_a^b \left[\int_{-\infty}^w f_{X}(t) \,\mathrm dt\right]f_Y(w)\,\mathrm dw\\ &= \int_{w=a}^{w=b}\int_{-\infty}^w f_{X,Y}(t,w)\,\mathrm dt \,\mathrm dw. \end{align} El valor de esta doble integral es la probabilidad de que $(X,Y)$ se encuentre en una franja horizontal de ancho $b-a$ que se extiende desde $-\infty$ hasta los puntos en el segmento de línea con extremos $(a,a)$ y $(b,b)$ en el plano $t$-$w$. El cálculo del valor exacto no es fácil, pero al menos podemos acotarlo de manera bastante sencilla. Dado que $\Phi\left(\frac{w-\mu}{\sigma}\right)$ aumenta desde $\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$ hasta $\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)$ a medida que $w$ aumenta de $a$ a $b$, obtenemos los límites $$\Phi\left.\left.\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)\right(\Phi(b)-\Phi(a)\right) < \int_a^b \Phi\left(\frac{w-\mu}{\sigma}\right)\phi(w) \,\mathrm dw < \Phi\left.\left.\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)\right(\Phi(b)-\Phi(a)\right)$$ que, dependiendo de los valores de $a,b,\mu$ y $\sigma$, podrían ser lo suficientemente ajustados como para ser satisfactorios para los propósitos gubernamentales, si no para los propósitos de SE de estadísticas.