Corrección de un problema simple de continuidad

Question

Acabo de aprender la definición de continuidad. Lo que quiero mostrar es que si $f(x)=x$ es continua en $a$, entonces $g(x)=x^3$ es continua en $a$ y tiene límite $a^3$ (funciones de $\Bbb R\to \Bbb R$)

Procedí de la siguiente manera: Para cualquier $\epsilon >0$, tomemos $T = \min(a - \sqrt[3]{a^3-\epsilon};\sqrt[3]{a^3+\epsilon}-a)$. Entonces, $-T+a\le x \le T+a$ implica $|x^3 - a^3| \le e$ por lo tanto $g$ es continua en $a...

Hice lo siguiente para encontrar $T: Supongamos que para cada $\epsilon>0$, $$\sqrt[3]{a^3 - \epsilon} \le x \le \sqrt[3]{a^3 +\epsilon}$$ Tomemos $T$ tal que $\sqrt[3]{a^3 -\epsilon} \le -T+a \le x \le T+a \le \sqrt[3]{a^3+\epsilon}$, y tuve la idea de tomar $T = \min(a - \sqrt[3]{a^3-\epsilon};\sqrt[3]{a^3+\epsilon}-a)$ porque funciona, pero bueno, no es realmente bonito, es tan feo, .. ¿Hay alguna otra idea?

Answer 1

En primer lugar, dado la forma en que se plantea el problema, no creo que se haya pretendido abordarlo con una prueba de $\epsilon,\delta$. En cambio, se pretende utilizar la definición simbólicamente más clara de que una función $f$ es continua en $a$ si $$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$

Creo que se debe a que se da que $f(x) = x$ es continua en $a$. Esto es casi obvio. Solo la prueba de continuidad para funciones constantes es más simple. Al demostrar la continuidad para $g(x) = x^3$ por $\epsilon,\delta$, no es necesario. Entonces, ¿por qué está ahí?

Apostaría a que en algún momento de tu curso, ya se demostró acerca de los límites que para cualquier par de funciones $g, f$, si ambos $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ y $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)$ convergen, entonces también lo hace $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x)$ y $$\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \left(\lim_{x \to a} f(x)\right)\left(\lim_{x \to a} g(x)\right)$$

Por lo tanto, lo que se pretende hacer aquí es reconocer que para las funciones particulares $f$ y $g$ dadas, $g(x) = f(x)f(x)f(x)$. Luego aplica la regla de multiplicación de límites anterior para ver que $$\lim_{x \to a} g(x) = \left(\lim_{x \to a} f(x)\right)\left(\lim_{x \to a} f(x)\right)\left(\lim_{x \to a} f(x)\right)$$

Sin embargo, tu prueba también es correcta, y temo que las pruebas de $\epsilon,\delta$ no son conocidas por ser hermosas. (Bueno, lo son, pero es una belleza que requiere mucha experiencia para reconocerla. Es como el café. La mayoría de la gente lo encuentra repugnante al principio, pero quienes siguen probándolo aprenden a apreciar las sutilezas de su sabor.)

Answer 2

Aquí hay un $\ \delta\,$ que parece un poco más "bonito"

Si $\ a\neq0\ $ entonces establece

$$0\,<\,\delta\,<\,\min\left(\frac{\varepsilon}{8a^2},|a|\right)$$

Primero nota que $\ |x-a|<\delta\ \Rightarrow\ |x|<\delta+|a|<2|a|$,$\ \,$ entonces tenemos

$$|x^3-a^3|\,=\,|x-a|\cdot|x^2+ax+a^2|\,<\,\delta\,(|4a^2|+|2a^2|+|a^2|)\,<\,\frac{\varepsilon}{8a^2}\cdot7a^2\,<\,\epsilon$$

Si $\ a=0\ $ entonces establece $$0\,<\,\delta\,<\,\sqrt[3]{\varepsilon}$$

y la prueba es trivial

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$\left.\right.$

Podemos usar la misma idea para demostrar la continuidad de $\ f(x)=x^n\,$ en $\ a\ $donde $\,n\,$ es un entero positivo.

De manera similar, si $\ a\neq0\ $ entonces establece

$$0\,<\,\delta\,<\,\min\left(\frac{\varepsilon}{2^n|a^{n-1}|},|a|\right)$$

Por lo tanto tenemos

$$|x^n-a^n|=|x-a||x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}|$$ $$\qquad\qquad\qquad\quad\,<\ \delta\,(\,2^{n-1}|a|^{n-1}+2^{n-2}|a^{n-1}|+\cdots+2|a^{n-1}|+|a^{n-1}|\,)$$ $$=\ \delta(2^{n}-1)|a^{n-1}|\qquad\qquad\qquad$$ $$<\ \frac{\varepsilon}{2^n|a^{n-1}|}(2^{n}-1)|a^{n-1}|\qquad\quad\ $$ $$<\ \varepsilon\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ $$

Luego para $\ a=0$, $\ $simplemente establece $$0\,<\,\delta\,<\,\sqrt[n]{\varepsilon}$$