Distribución de la Norma Euclidiana al Cuadrado del Vector Gaussiano

Question

Si $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}_N(\mathbf{m}, \mathbf{C})$ es un vector gaussiano $N$-dimensional, donde $\mathbf{m} \in \mathbb{R}^{N}$ y $\mathbf{C} \in \mathbb{R}^{N \times N}$, ¿cuál es la distribución de $$ Y = \| \mathbf{X} \|^2 $$ donde $\| \cdot \|$ denota la norma $L_2$ (norma euclidiana)?

Puede ser útil saber que la media puede calcularse fácilmente mediante $$ \mathbb{E}[ \| \mathbf{X} \|^2 ] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^N X_i^2 \right] = \sum_{i=1}^N \mathbb{E}[X_i^2] = \sum_{i=1}^N (\sigma^2_i + m_i^2) = \sum_{i=1}^N\sigma_i^2 + \sum_{i=1}^N m_i^2 = \mathrm{tr}(\mathbf{C}) + \| \mathbf{m} \|^2 $$ donde $\mathrm{tr}(\cdot)$ denota la traza de una matriz.

EDITAR: Pregunta relacionada: enlace.

Answer 1

Si $\mathbf{m}=0$ y $\mathbf{C}$ es la matriz identidad, entonces $Y$ está (por definición) distribuido según una distribución chi-cuadrado.

Podemos relajar la suposición de que $\mathbf{m}=0$ y obtener la [distribución chi-cuadrado no central](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_$\chi$-cuadrado_no central).

Por otro lado, si mantenemos la suposición de que $\mathbf{m}=0$ pero permitimos $\mathbf{C}$ general, tenemos la distribución Wishart.

Finalmente, para $(\mathbf{m},\mathbf{C})$ general, Y tiene una distribución chi-cuadrado generalizada.